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Physique statistique
11.3 LA PERCOLATION
Nous allons terminer ce chapitre en disant quelques mots sur le concept de percolation.
Ce dernier peut être utilisé dans le cadre des études relatives aux transitions de phase
mais son champ d’application peut aller au delà et concerner des problèmes aussi divers
que la propagation des épidémies ou celle des feux de forêt. Dans ces deux derniers
exemples, il est clair que la notion d’équilibre statistique, telle que nous l’avons définie
tout au long de cet ouvrage, ne joue aucun rôle.
Le concept de percolation a été proposé en 1956 par le mathématicien Hammersley
comme description statistique de systèmes contenant un grand nombre d’objets qui ont
entre eux une relation à courte distance. La question qui se pose est de savoir si, dans
certaines conditions, il existe aussi une relation à grande distance.
Pour illustrer ces idées sur un exemple concret, nous allons considérer une très grande
boîte cubique dont les parois sont isolantes à l’exception de deux parties métalliques
(électrodes) situées sur des parois opposées. Le rôle de ces parties métalliques sera d’injecter ou de recueillir un courant électrique. Nous allons remplir cette boîte de petites
billes sphériques. Celles-ci peuvent être de deux types : certaines sont en cuivre, donc
conductrices de l’électricité, les autres sont en plastique isolant. Soit p la proportion de
billes conductrices. C’est le rapport entre le nombre de billes conductrices et le nombre
total de billes. La quantité p varie donc de 0, lorsque toutes les billes sont isolantes, à 1,
lorsqu’elles sont toutes conductrices. Nous allons maintenant, en fonction de p, mesurer,
à l’aide d’un ohmètre, si le courant passe entre les deux électrodes qui sont situées sur
des faces opposées.
Considérons d’abord les deux situations extrêmes p = 0 et p = 1. Pour p = 0, il n’y
a que des sphères isolantes. Le courant ne passera donc pas. Pour p = 1, il n’y a, au
contraire, que des sphères conductrices. Par conséquent, le courant passe et l’on observe
une déviation sur notre ohmètre. En faisant varier p de 0 à 1, on doit donc avoir une
transition de l’état isolant vers l’état conducteur. Si l’on réalise l’expérience, on observe
que cette transition est très brutale et qu’elle se produit pour une valeur p = p c . Cette
dernière est appelée le seuil de percolation de la transition et le phénomène observé est
une transition de percolation.
Pour comprendre cette expérience, nous allons définir la notion d’amas ou d’agrégat.
Un amas ou agrégat est un ensemble de billes conductrices tel que chaque bille de cet
ensemble est en contact avec au moins une autre bille conductrice de l’ensemble. On
pourrait définir, de la même manière, les amas ou agrégats isolants constitués de billes
isolantes en contact.
Pour une valeur 0 < p < 1, il existe donc des amas de différentes tailles n. La quantité
n représente le nombre de billes conductrices contenues dans l’amas. Celui-ci peut, bien
sûr, ne pas être connexe et contenir, à l’intérieur, d’autres amas, conducteurs ou non. Pour
une configuration donnée du système caractérisée par la valeur p, nous désignerons par
n max l’amas le plus gros. Si l’on étudie l’évolution de n max en fonction de p, on observe
qu’il croît fortement pour p = p c , i.e. au seuil de percolation. Pour un système infini, n max
Physique statistique
11.3 LA PERCOLATION
Nous allons terminer ce chapitre en disant quelques mots sur le concept de percolation.
Ce dernier peut être utilisé dans le cadre des études relatives aux transitions de phase
mais son champ d’application peut aller au delà et concerner des problèmes aussi divers
que la propagation des épidémies ou celle des feux de forêt. Dans ces deux derniers
exemples, il est clair que la notion d’équilibre statistique, telle que nous l’avons définie
tout au long de cet ouvrage, ne joue aucun rôle.
Le concept de percolation a été proposé en 1956 par le mathématicien Hammersley
comme description statistique de systèmes contenant un grand nombre d’objets qui ont
entre eux une relation à courte distance. La question qui se pose est de savoir si, dans
certaines conditions, il existe aussi une relation à grande distance.
Pour illustrer ces idées sur un exemple concret, nous allons considérer une très grande
boîte cubique dont les parois sont isolantes à l’exception de deux parties métalliques
(électrodes) situées sur des parois opposées. Le rôle de ces parties métalliques sera d’injecter ou de recueillir un courant électrique. Nous allons remplir cette boîte de petites
billes sphériques. Celles-ci peuvent être de deux types : certaines sont en cuivre, donc
conductrices de l’électricité, les autres sont en plastique isolant. Soit p la proportion de
billes conductrices. C’est le rapport entre le nombre de billes conductrices et le nombre
total de billes. La quantité p varie donc de 0, lorsque toutes les billes sont isolantes, à 1,
lorsqu’elles sont toutes conductrices. Nous allons maintenant, en fonction de p, mesurer,
à l’aide d’un ohmètre, si le courant passe entre les deux électrodes qui sont situées sur
des faces opposées.
Considérons d’abord les deux situations extrêmes p = 0 et p = 1. Pour p = 0, il n’y
a que des sphères isolantes. Le courant ne passera donc pas. Pour p = 1, il n’y a, au
contraire, que des sphères conductrices. Par conséquent, le courant passe et l’on observe
une déviation sur notre ohmètre. En faisant varier p de 0 à 1, on doit donc avoir une
transition de l’état isolant vers l’état conducteur. Si l’on réalise l’expérience, on observe
que cette transition est très brutale et qu’elle se produit pour une valeur p = p c . Cette
dernière est appelée le seuil de percolation de la transition et le phénomène observé est
une transition de percolation.
Pour comprendre cette expérience, nous allons définir la notion d’amas ou d’agrégat.
Un amas ou agrégat est un ensemble de billes conductrices tel que chaque bille de cet
ensemble est en contact avec au moins une autre bille conductrice de l’ensemble. On
pourrait définir, de la même manière, les amas ou agrégats isolants constitués de billes
isolantes en contact.
Pour une valeur 0 < p < 1, il existe donc des amas de différentes tailles n. La quantité
n représente le nombre de billes conductrices contenues dans l’amas. Celui-ci peut, bien
sûr, ne pas être connexe et contenir, à l’intérieur, d’autres amas, conducteurs ou non. Pour
une configuration donnée du système caractérisée par la valeur p, nous désignerons par
n max l’amas le plus gros. Si l’on étudie l’évolution de n max en fonction de p, on observe
qu’il croît fortement pour p = p c , i.e. au seuil de percolation. Pour un système infini, n max