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Physique statistique
Cette étude montre que la stabilité vis à vis d’un point fixe dépend de la nature des
valeurs propres l i .
11.2.3 Lois d’échelle et exposants critiques
Nous allons considérer un système, caractérisé par son hamiltonien H, auquel on applique la transformation de renormalisation R. Le hamiltonien devient alors H et le
point représentatif dans l’espace des paramètres passe de
m à
m . Nous allons nous intéresser à ce que l’on appelle la partie singulière de l’énergie libre par particule ˜ f s . Par
partie singulière on entend celle qui correspond au hamiltonien dans lequel on a ignoré
un éventuel terme constant. La transformation R conduit à la relation suivante :
˜ f s ( m) = b
−d ˜ f s ( m
)
(47)
Au voisinage du point critique
m , on peut exprimer cette relation en terme des variables
linéaires d’échelle g i et g
i qui sont reliées par :
˜ f s (g 1 , g 2 , . . .) ∼ b
−d ˜ f s (b
y 1 g 1 , b
y 2 g 2 , b
y 3 g 3 , . . .)
(48)
Le signe ∼ signifie que le premier membre et le second membre ont le même comportement asymptotique.
Remarque. La transformation de renormalisation a pour effet d’intégrer sur les courtes
longueurs d’ondes du système. Ceci conduit, en général, à l’apparition d’un facteur
constant dans le hamiltonien transformé. Ce terme n’a aucune influence sur la longueur
de corrélation car il s’élimine naturellement. Ce n’est pas le cas pour l’énergie libre
par particule. Néanmoins, on peut montrer que sa prise en compte ne change pas les
conclusions en ce qui concerne les exposants critiques. C’est la raison pour laquelle on
définit une énergie libre singulière ˜ f s qui ne tient pas compte de ce terme. Physiquement,
cela revient à dire qu’on ne prend en compte, dans l’énergie libre, que de la contribution
associée aux longueurs d’onde supérieures à la longueur de corrélation.
Prenons le cas du ferromagnétisme pour illustrer la suite. Les deux paramètres importants dans ce problème sont : la température réduite t, définie par t = (T − T c )/T c , et le
champ magnétique réduit B = B/kT. Par conséquent, g 1 = t et g 2 = B. Les autres termes
sont pris nuls. On a donc :
˜ f s (t, B) ∼ b
−d ˜ f s (b
y 1 t, b
y 2 B)
(49)
Posons ˜ f tt (t, B) =
∂ 2˜ f s
∂t 2
B
. Calculons la capacité calorifique pour B = 0. Celle-ci est
proportionnelle à la dérivée seconde de l’énergie libre par particule :
C B ∼ ˜ f tt (t, 0) ∼ b
−d+2y 1 ˜ f tt (b
y 1 t, 0)
(50)
La quantité ˜ f tt (b y 1 t, 0) dépend de la température mais le paramètre de renormalisation,
b, est laissé à notre libre choix. Nous allons le prendre tel que b y 1 |t| = 1. Dans ce cas
˜ f tt (b y 1 t, 0) = ˜ f tt (±1, 0). Le préfacteur de l’équation (50) devient alors égal à |t|
(d−2y 1 )/y 1
Physique statistique
Cette étude montre que la stabilité vis à vis d’un point fixe dépend de la nature des
valeurs propres l i .
11.2.3 Lois d’échelle et exposants critiques
Nous allons considérer un système, caractérisé par son hamiltonien H, auquel on applique la transformation de renormalisation R. Le hamiltonien devient alors H et le
point représentatif dans l’espace des paramètres passe de
m à
m . Nous allons nous intéresser à ce que l’on appelle la partie singulière de l’énergie libre par particule ˜ f s . Par
partie singulière on entend celle qui correspond au hamiltonien dans lequel on a ignoré
un éventuel terme constant. La transformation R conduit à la relation suivante :
˜ f s ( m) = b
−d ˜ f s ( m
)
(47)
Au voisinage du point critique
m , on peut exprimer cette relation en terme des variables
linéaires d’échelle g i et g
i qui sont reliées par :
˜ f s (g 1 , g 2 , . . .) ∼ b
−d ˜ f s (b
y 1 g 1 , b
y 2 g 2 , b
y 3 g 3 , . . .)
(48)
Le signe ∼ signifie que le premier membre et le second membre ont le même comportement asymptotique.
Remarque. La transformation de renormalisation a pour effet d’intégrer sur les courtes
longueurs d’ondes du système. Ceci conduit, en général, à l’apparition d’un facteur
constant dans le hamiltonien transformé. Ce terme n’a aucune influence sur la longueur
de corrélation car il s’élimine naturellement. Ce n’est pas le cas pour l’énergie libre
par particule. Néanmoins, on peut montrer que sa prise en compte ne change pas les
conclusions en ce qui concerne les exposants critiques. C’est la raison pour laquelle on
définit une énergie libre singulière ˜ f s qui ne tient pas compte de ce terme. Physiquement,
cela revient à dire qu’on ne prend en compte, dans l’énergie libre, que de la contribution
associée aux longueurs d’onde supérieures à la longueur de corrélation.
Prenons le cas du ferromagnétisme pour illustrer la suite. Les deux paramètres importants dans ce problème sont : la température réduite t, définie par t = (T − T c )/T c , et le
champ magnétique réduit B = B/kT. Par conséquent, g 1 = t et g 2 = B. Les autres termes
sont pris nuls. On a donc :
˜ f s (t, B) ∼ b
−d ˜ f s (b
y 1 t, b
y 2 B)
(49)
Posons ˜ f tt (t, B) =
∂ 2˜ f s
∂t 2
B
. Calculons la capacité calorifique pour B = 0. Celle-ci est
proportionnelle à la dérivée seconde de l’énergie libre par particule :
C B ∼ ˜ f tt (t, 0) ∼ b
−d+2y 1 ˜ f tt (b
y 1 t, 0)
(50)
La quantité ˜ f tt (b y 1 t, 0) dépend de la température mais le paramètre de renormalisation,
b, est laissé à notre libre choix. Nous allons le prendre tel que b y 1 |t| = 1. Dans ce cas
˜ f tt (b y 1 t, 0) = ˜ f tt (±1, 0). Le préfacteur de l’équation (50) devient alors égal à |t|
(d−2y 1 )/y 1