11 • Transitions de phase (II)
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propres dépendent du facteur d’échelle b de la transformation du groupe de renormalisation (l = l(b)). Si nous considérons deux transformations du groupe de renormalisation,
respectivement caractérisées par un facteur d’échelle b 1 et b 2 , que nous appliquons successivement au système, nous devons avoir :
l i (b 1 ) l i (b 2 ) = l i (b 1 b 2 )
(41)
Pour satisfaire à cette relation, les valeurs propres doivent être de la forme :
l i (b) = b
y i
(42)
où les y i sont indépendants du facteur d’échelle b. Les quantités y i sont les exposants
critiques
dont nous avons parlé dans la section 10.9.
Nous allons à présent examiner la nature du flot, i.e. la courbe décrite par le point
représentatif dans l’espace des paramètres, au voisinage d’un point critique. L’idée est
de décomposer la différence entre les vecteurs
m et
m ∗ , dont les extrémités sont très
voisines, sur la base constituée par les vecteurs propres v i de l’opérateur A( m ∗ ) défini
plus haut :
m =
m
∗ +
i
g i v i
(43)
Les composantes g i sont appelées champs (ou variables) d’échelles. Ce sont précisément
les paramètres macroscopiques tels que t, B, etc.. Pour le point
m , transformé de
m par
R, nous pouvons écrire :
m
=
m
∗ +
i
b
y i g i v i =
m
∗ +
i
g
i v i
(44)
puisque, par définition des vecteurs et des valeurs propres :
Rv i = l i (b)v i = b
y i v i
(45)
on déduit que :
g
i = b
y i g i
(46)
À partir d’un point proche de
m ∗ , le flot décrit par le système dans l’espace des paramètres est déterminé par l’équation (46). On distingue 3 situations :
• Si l’exposant critique y i est positif, la variable d’échelle g i augmente lors de l’itération
du processus de renormalisation et le système s’éloigne du point fixe
m ∗ . On ne peut bien
évidemment pas prédire l’évolution quantitative du flot car la linéarisation (39) n’est plus
une bonne approximation après quelques itérations. Lorsque y i > 0, la variable d’échelle
est dite essentielle.
• Si y i est négatif, la variable d’échelle décroît par application répétée de la transformation de renormalisation et le point représentatif du système converge vers le point fixe
m ∗ . La variable d’échelle est dite inessentielle.
• Enfin, lorsque y i = 0, la variable d’échelle reste constante à l’échelle linéaire et il faut
aller à l’ordre supérieur pour prédire le comportement du système. Dans ce cas, on dit
que la variable d’échelle est marginale.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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propres dépendent du facteur d’échelle b de la transformation du groupe de renormalisation (l = l(b)). Si nous considérons deux transformations du groupe de renormalisation,
respectivement caractérisées par un facteur d’échelle b 1 et b 2 , que nous appliquons successivement au système, nous devons avoir :
l i (b 1 ) l i (b 2 ) = l i (b 1 b 2 )
(41)
Pour satisfaire à cette relation, les valeurs propres doivent être de la forme :
l i (b) = b
y i
(42)
où les y i sont indépendants du facteur d’échelle b. Les quantités y i sont les exposants
critiques
dont nous avons parlé dans la section 10.9.
Nous allons à présent examiner la nature du flot, i.e. la courbe décrite par le point
représentatif dans l’espace des paramètres, au voisinage d’un point critique. L’idée est
de décomposer la différence entre les vecteurs
m et
m ∗ , dont les extrémités sont très
voisines, sur la base constituée par les vecteurs propres v i de l’opérateur A( m ∗ ) défini
plus haut :
m =
m
∗ +
i
g i v i
(43)
Les composantes g i sont appelées champs (ou variables) d’échelles. Ce sont précisément
les paramètres macroscopiques tels que t, B, etc.. Pour le point
m , transformé de
m par
R, nous pouvons écrire :
m
=
m
∗ +
i
b
y i g i v i =
m
∗ +
i
g
i v i
(44)
puisque, par définition des vecteurs et des valeurs propres :
Rv i = l i (b)v i = b
y i v i
(45)
on déduit que :
g
i = b
y i g i
(46)
À partir d’un point proche de
m ∗ , le flot décrit par le système dans l’espace des paramètres est déterminé par l’équation (46). On distingue 3 situations :
• Si l’exposant critique y i est positif, la variable d’échelle g i augmente lors de l’itération
du processus de renormalisation et le système s’éloigne du point fixe
m ∗ . On ne peut bien
évidemment pas prédire l’évolution quantitative du flot car la linéarisation (39) n’est plus
une bonne approximation après quelques itérations. Lorsque y i > 0, la variable d’échelle
est dite essentielle.
• Si y i est négatif, la variable d’échelle décroît par application répétée de la transformation de renormalisation et le point représentatif du système converge vers le point fixe
m ∗ . La variable d’échelle est dite inessentielle.
• Enfin, lorsque y i = 0, la variable d’échelle reste constante à l’échelle linéaire et il faut
aller à l’ordre supérieur pour prédire le comportement du système. Dans ce cas, on dit
que la variable d’échelle est marginale.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.