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Physique statistique
La trajectoire décrite par le point représentatif
m s’appelle le flot de renormalisation.
Compte tenu de l’effet des transformations sur le système, qui intègre sur les fluctuations
à courte distance, on peut dire que tous les points situés sur le flot de renormalisation ont
un comportement similaire à longue distance.
Si maintenant on part d’un point situé sur la surface critique, il converge, par application de la transformation de renormalisation R, vers un point fixe
m ∗ . Mathématiquement,
un point fixe est défini par la relation :
R m
∗ =
m
∗
(38)
Notons que sur S ∞ il peut y avoir plusieurs points fixes. Ceux-ci se comportent comme
des attracteurs pour un domaine dans lequel tout point
m converge vers
m ∗ après application répétée de R.
Signalons enfin, que pour le modèle d’Ising bidimensionnel que nous décrivons, il
existe deux points fixes triviaux : ceux correspondants à T = 0 et T = ∞. Ils attirent tous
les points de l’espace des paramètres qui ne se trouvent pas sur la surface critique S ∞ .
Pour ces points fixes triviaux, la longueur de corrélation est nulle.
11.2.2 Universalité et exposants critiques
Nous allons maintenant aborder de façon plus précise le comportement du système au
voisinage d’un point fixe
m ∗ . Ceci va nous permettre de préciser les notions d’universalité et d’exposants critiques que nous avons évoquées plus haut. La lecture de cette
section nécessite quelques notions d’algèbre linéaire
1 .
Considérons un point fixe non trivial
m ∗ dans l’espace des paramètres. Il satisfait à
la relation (38). Partant d’un point
m appartenant au domaine d’attraction de
m ∗ , donc
situé sur S ∞ , on atteint
m ∗ par applications répétées de la transformation R. Au bout
de N transformations, on atteindra le point critique : R N
m =
m ∗ . Considérons deux
étapes successives où
m est transformé en
m = R m. Nous supposerons
m suffisamment
proche du point critique puisque c’est au voisinage de
m ∗ que nous allons étudier le
comportement du système. L’idée est de développer
m et
m au voisinage de
m ∗ en se
restreignant au premier ordre. C’est ce que l’on appelle linéariser le problème.
m =
m
∗ + d m et
m
=
m
∗ + d m
(39)
Les points
m et
m étant très proches, on peut faire un développement de Taylor de l’opérateur R au voisinage du point critique
m ∗ et se limiter au premier ordre. Ce terme est
alors une matrice A dont les coefficients sont constants puisque évalués au point critique
m ∗ . Donc :
d m
= A( m
∗ ) d m
(40)
Les valeurs propres l i de la matrice A et les vecteurs propres associés v i vont permettre de déterminer les propriétés du hamiltonien au point critique. En effet, les valeurs
1. Voir, par exemple, le chapitre 2 de l’ouvrage de Physique Quantique, mêmes auteurs, même éditeur.
Physique statistique
La trajectoire décrite par le point représentatif
m s’appelle le flot de renormalisation.
Compte tenu de l’effet des transformations sur le système, qui intègre sur les fluctuations
à courte distance, on peut dire que tous les points situés sur le flot de renormalisation ont
un comportement similaire à longue distance.
Si maintenant on part d’un point situé sur la surface critique, il converge, par application de la transformation de renormalisation R, vers un point fixe
m ∗ . Mathématiquement,
un point fixe est défini par la relation :
R m
∗ =
m
∗
(38)
Notons que sur S ∞ il peut y avoir plusieurs points fixes. Ceux-ci se comportent comme
des attracteurs pour un domaine dans lequel tout point
m converge vers
m ∗ après application répétée de R.
Signalons enfin, que pour le modèle d’Ising bidimensionnel que nous décrivons, il
existe deux points fixes triviaux : ceux correspondants à T = 0 et T = ∞. Ils attirent tous
les points de l’espace des paramètres qui ne se trouvent pas sur la surface critique S ∞ .
Pour ces points fixes triviaux, la longueur de corrélation est nulle.
11.2.2 Universalité et exposants critiques
Nous allons maintenant aborder de façon plus précise le comportement du système au
voisinage d’un point fixe
m ∗ . Ceci va nous permettre de préciser les notions d’universalité et d’exposants critiques que nous avons évoquées plus haut. La lecture de cette
section nécessite quelques notions d’algèbre linéaire
1 .
Considérons un point fixe non trivial
m ∗ dans l’espace des paramètres. Il satisfait à
la relation (38). Partant d’un point
m appartenant au domaine d’attraction de
m ∗ , donc
situé sur S ∞ , on atteint
m ∗ par applications répétées de la transformation R. Au bout
de N transformations, on atteindra le point critique : R N
m =
m ∗ . Considérons deux
étapes successives où
m est transformé en
m = R m. Nous supposerons
m suffisamment
proche du point critique puisque c’est au voisinage de
m ∗ que nous allons étudier le
comportement du système. L’idée est de développer
m et
m au voisinage de
m ∗ en se
restreignant au premier ordre. C’est ce que l’on appelle linéariser le problème.
m =
m
∗ + d m et
m
=
m
∗ + d m
(39)
Les points
m et
m étant très proches, on peut faire un développement de Taylor de l’opérateur R au voisinage du point critique
m ∗ et se limiter au premier ordre. Ce terme est
alors une matrice A dont les coefficients sont constants puisque évalués au point critique
m ∗ . Donc :
d m
= A( m
∗ ) d m
(40)
Les valeurs propres l i de la matrice A et les vecteurs propres associés v i vont permettre de déterminer les propriétés du hamiltonien au point critique. En effet, les valeurs
1. Voir, par exemple, le chapitre 2 de l’ouvrage de Physique Quantique, mêmes auteurs, même éditeur.