11 • Transitions de phase (II)
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appelées constantes de couplage. Nous les noterons collectivement par le symbole
m.
C’est un vecteur de composantes K 1 , K 2 ,. . . . L’extrémité de ce vecteur représente aussi
un point. Par conséquent, dans ce qui suit,
m désignera indifféremment le vecteur ou
le point associé à l’extrémité de ce dernier. De même, on peut définir un vecteur G de
composantes
s i s j ,
<> s i s j ,. . . . Ceci permet d’écrire (36) comme :
H
=
m G
(37)
L’ensemble des
m définit ce que l’on dénomme un espace de paramètres. Une valeur
particulière de
m correspond donc à un point dans cet espace de paramètres et décrit
un système physique particulier caractérisé par une température T donnée. L’opérateur
R est une transformation qui agit dans l’espace des paramètres et transforme un point
m = {K 1 , K 2 , . . .} en un point
m = R m = {K
1 , K
2 , . . .}. Pour l’état initial, on a bien
entendu K 1 = J . Il est important de noter que, même si l’on part d’un hamiltonien très
simple, les transformations R vont conduire à des hamiltoniens de structure très complexe qui contiennent des termes mettant en jeu le couplage de plusieurs spins sur tous
les voisins possibles. L’espace des paramètres est, pour un système infini, de dimension
infinie.
Maintenant que nous avons introduit l’espace des paramètres, nous allons définir un
certain nombre de structures intéressantes dans cet espace. Pour cela, partons du modèle
de Ising bidimensionnel à une température T (K 1 = 0 et K 2 = K 3 = K 4 = . . . = 0). Si
nous faisons varier la température du système K 1 = J /kT varie et le point représentatif
m de l’espace des paramètres décrit une ligne appelée ligne physique. Pour une certaine
valeur de K 1 , le système devient critique et présente une transition de phase du second
ordre. Dans ce cas, la longueur de corrélation est infinie.
Plaçons-nous à présent au point critique et appliquons au système une transformation du groupe de renormalisation. La nouvelle longueur de corrélation, j = j/b, est
encore infinie puisque nous sommes au point critique. En appliquant à nouveau cette
transformation le système restera critique. Le lieu des points où les systèmes sont critiques (j = ∞) est une surface S ∞ que l’on appelle surface critique. Tout point de S ∞
est transformé, par une transformation du groupe de renormalisation, en un point de S ∞ .
Si l’on part d’un point de l’espace des paramètres qui n’est pas sur la surface critique
S ∞ , ce dernier s’éloigne progressivement de S ∞ par application répétée de la transformation du groupe de renormalisation. C’est ce phénomène que nous avons décrit
qualitativement dans la section 10.8.
Nous avons dit à cette occasion que si T > T c la température du système augmente au
fur et à mesure que l’on applique R. Pour T < T c , elle diminue au contraire. C’est une
manière commode de se représenter les choses mais, pour être plus précis, il est clair
que le système étudié reste toujours à la même température et R est une transformation
abstraite. Ce qui se passe en réalité, c’est que le système créé par application de R a
des constantes de couplage différentes de celles du système initial. Le comportement à
longue distance du nouveau système est équivalent à celui que l’on observerait pour le
système initial à une température différente.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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appelées constantes de couplage. Nous les noterons collectivement par le symbole
m.
C’est un vecteur de composantes K 1 , K 2 ,. . . . L’extrémité de ce vecteur représente aussi
un point. Par conséquent, dans ce qui suit,
m désignera indifféremment le vecteur ou
le point associé à l’extrémité de ce dernier. De même, on peut définir un vecteur G de
composantes
<
H
=
m G
(37)
L’ensemble des
m définit ce que l’on dénomme un espace de paramètres. Une valeur
particulière de
m correspond donc à un point dans cet espace de paramètres et décrit
un système physique particulier caractérisé par une température T donnée. L’opérateur
R est une transformation qui agit dans l’espace des paramètres et transforme un point
m = {K 1 , K 2 , . . .} en un point
m = R m = {K
1 , K
2 , . . .}. Pour l’état initial, on a bien
entendu K 1 = J . Il est important de noter que, même si l’on part d’un hamiltonien très
simple, les transformations R vont conduire à des hamiltoniens de structure très complexe qui contiennent des termes mettant en jeu le couplage de plusieurs spins sur tous
les voisins possibles. L’espace des paramètres est, pour un système infini, de dimension
infinie.
Maintenant que nous avons introduit l’espace des paramètres, nous allons définir un
certain nombre de structures intéressantes dans cet espace. Pour cela, partons du modèle
de Ising bidimensionnel à une température T (K 1 = 0 et K 2 = K 3 = K 4 = . . . = 0). Si
nous faisons varier la température du système K 1 = J /kT varie et le point représentatif
m de l’espace des paramètres décrit une ligne appelée ligne physique. Pour une certaine
valeur de K 1 , le système devient critique et présente une transition de phase du second
ordre. Dans ce cas, la longueur de corrélation est infinie.
Plaçons-nous à présent au point critique et appliquons au système une transformation du groupe de renormalisation. La nouvelle longueur de corrélation, j = j/b, est
encore infinie puisque nous sommes au point critique. En appliquant à nouveau cette
transformation le système restera critique. Le lieu des points où les systèmes sont critiques (j = ∞) est une surface S ∞ que l’on appelle surface critique. Tout point de S ∞
est transformé, par une transformation du groupe de renormalisation, en un point de S ∞ .
Si l’on part d’un point de l’espace des paramètres qui n’est pas sur la surface critique
S ∞ , ce dernier s’éloigne progressivement de S ∞ par application répétée de la transformation du groupe de renormalisation. C’est ce phénomène que nous avons décrit
qualitativement dans la section 10.8.
Nous avons dit à cette occasion que si T > T c la température du système augmente au
fur et à mesure que l’on applique R. Pour T < T c , elle diminue au contraire. C’est une
manière commode de se représenter les choses mais, pour être plus précis, il est clair
que le système étudié reste toujours à la même température et R est une transformation
abstraite. Ce qui se passe en réalité, c’est que le système créé par application de R a
des constantes de couplage différentes de celles du système initial. Le comportement à
longue distance du nouveau système est équivalent à celui que l’on observerait pour le
système initial à une température différente.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.