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Physique statistique
doit laisser la fonction de partition invariante :
Z N (H
) = Z N (H)
(33)
Ce qui signifie, compte tenu de la relation (103) du chapitre 6, que l’énergie libre est
invariante. Nous allons introduire l’énergie libre par particule f et l’énergie libre réduite
par particule ˜ f = f/kT. Puisque l’énergie libre F est une grandeur extensive, la quantité ˜ f
doit se transformer comme :
˜ f(H
) = b
d ˜ f(H)
(34)
Les longueurs sont mesurées avec une unité naturelle qui est le pas du réseau. Si a est le
pas du réseau avant la transformation R, le pas du réseau devient ba ce qui signifie que
les longueurs, exprimées dans cette unité naturelle, sont divisées par b.
Rappelons que dans le cas de la transformation de blocs de spins que nous avons introduite dans la section 10.8, on procède, pour chaque transformation R, de la manière
suivante. Tout d’abord, on remplace chaque bloc, constitué de 9 spins par un seul spin
dont l’orientation est donnée par l’orientation majoritaire des neufs spins initiaux. Le
réseau ainsi obtenu a pour un pas égal à 3a, si a est le pas du réseau initial. On procède
ensuite à une contraction de l’échelle des longueurs d’un facteur trois ce qui restaure le
pas du réseau initial. L’effet de la transformation R, qui peut être répétée à volonté, permet d’éliminer toutes les fluctuations dont la taille est inférieure à celle du bloc de spin.
Remarque. Une autre façon de voir les chose consiste à interpréter la transformation R du
groupe de renormalisation comme une intégration sur les fluctuations à courte distance,
i.e. entre 0 et ba. L’intégration, ou l’élimination, des fluctuations de courte distance à
l’aide de la transformation du groupe de renormalisation conduit à un système qui possède le même comportement à longue distance que le système initial. Après la transformation, tous les détails de dimensions comprises entre 0 et ba ont disparu. La longueur de
corrélation j, évaluée en unités naturelles, est divisée par b et vaut j/b. On voit donc que
la transformation R a pour effet de diminuer la longueur de corrélation : si le système est
à T > T c , la température augmente ; s’il est à T < T c , il se refroidit. Il n’y a qu’au point
critique qu’il reste invariant par application répétée de R car la longueur de corrélation
est infinie.
Considérons, pour fixer les idées, le modèle de Ising bidimensionnel. Avant toute
transformation, le hamiltonien réduit du système en l’absence de champ extérieur
s’écrit :
H = −J
s i s j
(35)
où J = J/kT > 0 est le paramètre de l’interaction. Après application de la transformation R, le hamiltonien devient H → RH = H . Ce nouvel hamiltonien n’a aucune raison
de s’écrire sous la forme (35). Il aura la forme générale suivante :
H
= −K 1
s i s j − K 2
<>
s i s j − . . .
(36)
où les sommes portent sur les proches voisins, les deuxièmes proches voisins,. . . , les
interactions qui mettent en jeu plusieurs spins, etc.. Les coefficients K 1 , K 2 , K 3 ,. . . sont
Physique statistique
doit laisser la fonction de partition invariante :
Z N (H
) = Z N (H)
(33)
Ce qui signifie, compte tenu de la relation (103) du chapitre 6, que l’énergie libre est
invariante. Nous allons introduire l’énergie libre par particule f et l’énergie libre réduite
par particule ˜ f = f/kT. Puisque l’énergie libre F est une grandeur extensive, la quantité ˜ f
doit se transformer comme :
˜ f(H
) = b
d ˜ f(H)
(34)
Les longueurs sont mesurées avec une unité naturelle qui est le pas du réseau. Si a est le
pas du réseau avant la transformation R, le pas du réseau devient ba ce qui signifie que
les longueurs, exprimées dans cette unité naturelle, sont divisées par b.
Rappelons que dans le cas de la transformation de blocs de spins que nous avons introduite dans la section 10.8, on procède, pour chaque transformation R, de la manière
suivante. Tout d’abord, on remplace chaque bloc, constitué de 9 spins par un seul spin
dont l’orientation est donnée par l’orientation majoritaire des neufs spins initiaux. Le
réseau ainsi obtenu a pour un pas égal à 3a, si a est le pas du réseau initial. On procède
ensuite à une contraction de l’échelle des longueurs d’un facteur trois ce qui restaure le
pas du réseau initial. L’effet de la transformation R, qui peut être répétée à volonté, permet d’éliminer toutes les fluctuations dont la taille est inférieure à celle du bloc de spin.
Remarque. Une autre façon de voir les chose consiste à interpréter la transformation R du
groupe de renormalisation comme une intégration sur les fluctuations à courte distance,
i.e. entre 0 et ba. L’intégration, ou l’élimination, des fluctuations de courte distance à
l’aide de la transformation du groupe de renormalisation conduit à un système qui possède le même comportement à longue distance que le système initial. Après la transformation, tous les détails de dimensions comprises entre 0 et ba ont disparu. La longueur de
corrélation j, évaluée en unités naturelles, est divisée par b et vaut j/b. On voit donc que
la transformation R a pour effet de diminuer la longueur de corrélation : si le système est
à T > T c , la température augmente ; s’il est à T < T c , il se refroidit. Il n’y a qu’au point
critique qu’il reste invariant par application répétée de R car la longueur de corrélation
est infinie.
Considérons, pour fixer les idées, le modèle de Ising bidimensionnel. Avant toute
transformation, le hamiltonien réduit du système en l’absence de champ extérieur
s’écrit :
H = −J
s i s j
(35)
où J = J/kT > 0 est le paramètre de l’interaction. Après application de la transformation R, le hamiltonien devient H → RH = H . Ce nouvel hamiltonien n’a aucune raison
de s’écrire sous la forme (35). Il aura la forme générale suivante :
H
= −K 1
s i s j − K 2
<
s i s j − . . .
(36)
où les sommes portent sur les proches voisins, les deuxièmes proches voisins,. . . , les
interactions qui mettent en jeu plusieurs spins, etc.. Les coefficients K 1 , K 2 , K 3 ,. . . sont