11 • Transitions de phase (II)
225
b) La théorie de Ginsburg et Landau
Pour un système hétérogène, le paramètre d’ordre dépend généralement de la position
(m = m(r)). Il faut alors introduire la densité locale d’énergie libre f (m, T) qui est reliée
à l’énergie libre du système total par :
F(m, T) =
f (m, T) dr
(31)
Comme pour la théorie de Landau présentée plus haut, on développe f (m, T) en fonction
de m :
f (m, T) = f 0 (T) + ˜
a
2
2 t
2 m
2 + a 4 m
4 + g|∇m|
2
(32)
Le dernier terme du développement est introduit à cause de la dépendance en r de m. Le
raisonnement est par la suite analogue à celui que nous avons tenu plus haut et conduit
au même type de résultat.
11.2 LE GROUPE DE RENORMALISATION
Dans cette section, nous allons introduire quelques notions concernant le groupe de renormalisation. Il s’agit d’un sujet complexe qui nécessite des développements mathématiques allant bien au delà du niveau élémentaire de cet ouvrage. Aussi, nous allons nous
limiter à la présentation de quelques idées physiques sur le groupe de renormalisation
pour soulever un peu le voile sur ce domaine très riche.
11.2.1 Points fixes et surface critique
Nous allons caractériser un système à N degrés de liberté par son hamiltonien H. Disons,
pour simplifier, que le hamiltonien d’un système n’est autre que l’énergie totale (cinétique plus potentielle) de celui-ci exprimé en fonction des coordonnées et des impulsions
des particules. Pour des raisons de commodité, nous allons définir un hamiltonien réduit,
sans dimension, en divisant H par la quantité kT : H = H/kT.
Les transformations du groupe de renormalisation permettent de changer l’échelle des
longueurs d’un système en diminuant le nombre de degrés de liberté. Elles s’appliquent
à l’espace des paramètres du système. Ce dernier sera défini plus bas. Certains points
de cet espace restent invariants dans ces transformations. On les appelle points fixes.
Certains d’entre-eux représentent les points critiques du système car nous avons dit plus
haut que les propriétés du système au point critique sont invariantes par changement
d’échelle.
La transformation de renormalisation, R, transforme H en H = RH. Par cette opération, le nombre de degrés de liberté du système passe de N à N . Le facteur d’échelle de
la transformation, b, est donné par : b d = N/N où d est la dimension de l’espace dans
lequel est défini le système. Pour le modèle d’Ising bidimensionnel et la transformation
de renormalisation que nous avons introduits dans la section 10.8, on a b = 3 et d = 2 ;
pour la transition liquide-gaz, d = 3. Toute transformation du groupe de renormalisation
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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b) La théorie de Ginsburg et Landau
Pour un système hétérogène, le paramètre d’ordre dépend généralement de la position
(m = m(r)). Il faut alors introduire la densité locale d’énergie libre f (m, T) qui est reliée
à l’énergie libre du système total par :
F(m, T) =
f (m, T) dr
(31)
Comme pour la théorie de Landau présentée plus haut, on développe f (m, T) en fonction
de m :
f (m, T) = f 0 (T) + ˜
a
2
2 t
2 m
2 + a 4 m
4 + g|∇m|
2
(32)
Le dernier terme du développement est introduit à cause de la dépendance en r de m. Le
raisonnement est par la suite analogue à celui que nous avons tenu plus haut et conduit
au même type de résultat.
11.2 LE GROUPE DE RENORMALISATION
Dans cette section, nous allons introduire quelques notions concernant le groupe de renormalisation. Il s’agit d’un sujet complexe qui nécessite des développements mathématiques allant bien au delà du niveau élémentaire de cet ouvrage. Aussi, nous allons nous
limiter à la présentation de quelques idées physiques sur le groupe de renormalisation
pour soulever un peu le voile sur ce domaine très riche.
11.2.1 Points fixes et surface critique
Nous allons caractériser un système à N degrés de liberté par son hamiltonien H. Disons,
pour simplifier, que le hamiltonien d’un système n’est autre que l’énergie totale (cinétique plus potentielle) de celui-ci exprimé en fonction des coordonnées et des impulsions
des particules. Pour des raisons de commodité, nous allons définir un hamiltonien réduit,
sans dimension, en divisant H par la quantité kT : H = H/kT.
Les transformations du groupe de renormalisation permettent de changer l’échelle des
longueurs d’un système en diminuant le nombre de degrés de liberté. Elles s’appliquent
à l’espace des paramètres du système. Ce dernier sera défini plus bas. Certains points
de cet espace restent invariants dans ces transformations. On les appelle points fixes.
Certains d’entre-eux représentent les points critiques du système car nous avons dit plus
haut que les propriétés du système au point critique sont invariantes par changement
d’échelle.
La transformation de renormalisation, R, transforme H en H = RH. Par cette opération, le nombre de degrés de liberté du système passe de N à N . Le facteur d’échelle de
la transformation, b, est donné par : b d = N/N où d est la dimension de l’espace dans
lequel est défini le système. Pour le modèle d’Ising bidimensionnel et la transformation
de renormalisation que nous avons introduits dans la section 10.8, on a b = 3 et d = 2 ;
pour la transition liquide-gaz, d = 3. Toute transformation du groupe de renormalisation
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.