182
Physique statistique
9.1.4 Gaz de Fermi à basse température
La plupart des quantités obtenues dans la section 9.1.1 sont exprimées en fonction des
intégrales de Fermi I n (h). Il n’est pas possible de calculer celles-ci analytiquement. Elle
peuvent être évaluées numériquement mais les calculs pratiques des quantités thermodynamiques ne sont pas simples comme nous allons le voir dans l’exemple suivant :
Pour calculer l’énergie d’un système de N particules, confinées dans un volume V à
température T, il faut utiliser l’équation (17) et donc connaître la valeur du paramètre
h (ou du potentiel chimique m). Ce dernier se calcule en utilisant l’équation (15) dans
laquelle l’expression de h n’est pas explicite. Par conséquent, il faut tout d’abord chercher numériquement la valeur de h qui satisfait à l’équation (15) et utiliser celle-ci pour
calculer E à l’aide de (17).
Lorsque la température n’est pas trop élevée, i.e. si kT ´ F , on peut utiliser un développement limité pour I n (h) qui permet d’obtenir des formules analytiques approchées
qui en sont d’excellentes approximations. Les développements utilisés sont donnés dans
l’annexe A4. Appliquons ces résultats aux cas qui nous intéressent. Considérons N fermions à température nulle. Leur nombre est relié à l’énergie de Fermi par les équations
(30) et (32). Si l’on chauffe légèrement le système, ce nombre de particule ne change
pas. Il est alors relié au potentiel chimique par l’intermédiaire de la relation (15), ce qui
permet d’écrire :
2
3
´
3/2
F = (kT)
3/2 I 1/2 (h)
(66)
avec h =
m
kT
. À basse température (h 1), on peut utiliser pour I 1/2 (h) le développement donné dans l’annexe A4. On obtient :
2
3
´
3/2
F = (kT)
3/2 2
3
m
kT
3/2
1 +
p 2
8
kT
m
2
(67)
soit :
´
3/2
F = m
3/2
1 +
p 2
8
kT
m
2
(68)
Le terme en
kT
m
2
est une correction par rapport à l’unité. Donc, à l’ordre zéro, on a
´ F ∼ m. À l’ordre deux en T il suffit donc de remplacer m, dans le terme correctif, par
´ F , ce qui donne :
m =
´ F
1 +
p 2
8
kT
´ F
2
2/3 ´ F
1 −
p 2
12
kT
´ F
2
(69)
Physique statistique
9.1.4 Gaz de Fermi à basse température
La plupart des quantités obtenues dans la section 9.1.1 sont exprimées en fonction des
intégrales de Fermi I n (h). Il n’est pas possible de calculer celles-ci analytiquement. Elle
peuvent être évaluées numériquement mais les calculs pratiques des quantités thermodynamiques ne sont pas simples comme nous allons le voir dans l’exemple suivant :
Pour calculer l’énergie d’un système de N particules, confinées dans un volume V à
température T, il faut utiliser l’équation (17) et donc connaître la valeur du paramètre
h (ou du potentiel chimique m). Ce dernier se calcule en utilisant l’équation (15) dans
laquelle l’expression de h n’est pas explicite. Par conséquent, il faut tout d’abord chercher numériquement la valeur de h qui satisfait à l’équation (15) et utiliser celle-ci pour
calculer E à l’aide de (17).
Lorsque la température n’est pas trop élevée, i.e. si kT ´ F , on peut utiliser un développement limité pour I n (h) qui permet d’obtenir des formules analytiques approchées
qui en sont d’excellentes approximations. Les développements utilisés sont donnés dans
l’annexe A4. Appliquons ces résultats aux cas qui nous intéressent. Considérons N fermions à température nulle. Leur nombre est relié à l’énergie de Fermi par les équations
(30) et (32). Si l’on chauffe légèrement le système, ce nombre de particule ne change
pas. Il est alors relié au potentiel chimique par l’intermédiaire de la relation (15), ce qui
permet d’écrire :
2
3
´
3/2
F = (kT)
3/2 I 1/2 (h)
(66)
avec h =
m
kT
. À basse température (h 1), on peut utiliser pour I 1/2 (h) le développement donné dans l’annexe A4. On obtient :
2
3
´
3/2
F = (kT)
3/2 2
3
m
kT
3/2
1 +
p 2
8
kT
m
2
(67)
soit :
´
3/2
F = m
3/2
1 +
p 2
8
kT
m
2
(68)
Le terme en
kT
m
2
est une correction par rapport à l’unité. Donc, à l’ordre zéro, on a
´ F ∼ m. À l’ordre deux en T il suffit donc de remplacer m, dans le terme correctif, par
´ F , ce qui donne :
m =
´ F
1 +
p 2
8
kT
´ F
2
2/3 ´ F
1 −
p 2
12
kT
´ F
2
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