9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
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gaz de fermions contenant beaucoup de particules, car le nombre de particules occupant
les niveaux les plus bas est faible comparé au nombre de particules restant. Nous verrons
par contre que ce n’est pas vrai pour un gaz de bosons à basse température.
Il est intéressant à ce stade d’étudier la limite classique. Celle-ci correspond au cas
où la température n’est pas trop proche du zéro absolu, lorsque la densité du gaz n’est
pas trop grande. Lorsque cette situation est réalisée kT ´ F (∼ r 2/3 ). L’examen de
la figure 1 montre que la condition −
m
kT
1, donc e −m/kT 1, va être très vite
satisfaite. Dans ce cas, le nombre d’occupation moyen d’un micro-état donné i, devient :
=
1
exp(
´ i − m
kT
) + 1
e
m
kT e
−
´ i
kT
(62)
Nous retrouvons la distribution de Maxwell-Boltzmann. Elle est proportionnelle à
exp(−
´ i
kT
) et elle se substitue à la distribution de Fermi-Dirac dans le cas classique.
Nous remarquons également que, dans le cas où la distribution de Boltzmann s’applique, le nombre d’occupation 1.
À partir de l’expression (28), on peut obtenir les quantités
´ i − m
kT
et exp
´ i − m
kT
,
en fonction de . Si l’on reporte ces expressions dans l’équation (54), on obtient,
après quelques manipulations élémentaires :
S = −k
i
Log +(1− ) Log (1− )
(63)
L’expression (63) permet de calculer l’entropie d’un gaz parfait de fermions à partir des
nombres d’occupation moyens. Il est important de noter que = n i . En effet, n i ne
peut prendre que deux valeurs 0 ou 1, alors que < n i > peut prendre n’importe quelle
valeur comprise entre 0 et 1. L’intérêt de l’expression (63) provient de ce qu’on peut
l’utiliser comme la définition de l’entropie d’un gaz de Fermi hors d’équilibre. Dans ce
cas, les ne sont plus donnés par la distribution de Fermi-Dirac.
Remarque. À ce stade, il est possible de relier (63) à l’expression de l’entropie d’information que nous avons obtenue dans la section 3.3.2. Pour cela, introduisons P
(1)
i
la
probabilité pour que le micro-état à une particule i soit occupé et P
(0)
i la probabilité pour
qu’il ne le soit pas. On a : P
(0)
i + P
(1)
i = 1 et 0 × P
(0)
i + 1 × P
(1)
i =. Par conséquent :
P
(0)
i = 1−
et P
(1)
i =
(64)
d’où :
S = −k
i
P
(0)
i Log P
(0)
i + P
(1)
i Log P
(1)
i
(65)
L’information manquante est la somme des informations manquantes associées à chacun
des micro-états.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.