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Physique statistique
Pour des particules dans une boîte cubique
d´ i
dV
= −
2
3
´ i
V
(cf. équation (18) déduite de
l’équation (2.22)), donc :
P =
2
3
i
´ i
V
=
2
3
E
V
(58)
ce qui nous permet de retrouver une fois de plus l’équation d’état d’un gaz parfait :
PV =
2
3 E.
Remarque. Il est important d’insister sur le fait que pour étudier les gaz de Fermi ou
de Bose, on applique l’ensemble grand canonique aux micro-états à une particule et non
aux particules elles-mêmes. La philosophie de l’approche est donc différente de celle que
nous avons utilisée dans le chapitre 7 où nous avons étudié les propriétés d’une particule
à l’aide de l’ensemble canonique. Par voie de conséquence, la fonction de partition grand
canonique est le produit des fonctions de partition associées à chaque micro-état. Comme
ceux-ci sont discernables les uns des autres, il n’y a pas lieu d’introduire le fameux facteur
N! nécessaire à un traitement correct du gaz parfait classique (sections 5.4 et 5.5).
Les expressions que nous avons obtenues dans cette section peuvent sembler à première
vue différentes de celles que nous avons calculées dans la section 9.1.1. En fait, il n’en
est rien. En effet, la somme
i portant sur tous les micro-états à une particule peut
être remplacée, lorsque les niveaux d’énergie sont nombreux et rapprochés, par une intégrale sur l’énergie des états à une particule. Nous avons vu, dans la section 9.1.1, que
le nombre de micro-états à une particule dont l’énergie est comprise entre ´ et ´ + d´ est
égale, lorsque ´ > 0, à :
g
2pV
h 3 (2m)
3/2 √
´
(59)
Cette expression résulte du dénombrement des micro-états dans l’espace de phase
(équation 2). L’équation (59) représente en quelque sorte la dégénérescence des niveaux
d’énergie compris entre ´ et ´ + d´. En conséquence, pour les systèmes macroscopiques,
une excellente approximation des expressions obtenues dans cette section peut être faite
par la substitution suivante :
i
. . . → g
2pV
h 3 (2m)
3/2
∞
0
√
´ . . . d´
(60)
celle-ci permet de retrouver tous les résultats de la section 9.1.1. Par exemple :
N =
i
1
exp(
´ i − m
kT
) + 1
= g
2pV
h 3 (2m)
3/2
∞
0
√
´d´
exp(
´ − m
kT
) + 1
(61)
On retrouve l’équation (12). Nous laissons le soin au lecteur de vérifier les autres
équations. L’approximation (60) n’est valable que pour les énergies ´ qui ne sont pas
trop proches du niveau le plus bas. Pour une boîte cubique, il faut typiquement que
´
p 2 2
2mV 2/3 et que le nombre de particules soit grand, i.e. être dans le cadre de la
limite thermodynamique. Ceci n’est pas un problème pour un gaz classique, ou pour un
Physique statistique
Pour des particules dans une boîte cubique
d´ i
dV
= −
2
3
´ i
V
(cf. équation (18) déduite de
l’équation (2.22)), donc :
P =
2
3
i
´ i
V
=
2
3
E
V
(58)
ce qui nous permet de retrouver une fois de plus l’équation d’état d’un gaz parfait :
PV =
2
3 E.
Remarque. Il est important d’insister sur le fait que pour étudier les gaz de Fermi ou
de Bose, on applique l’ensemble grand canonique aux micro-états à une particule et non
aux particules elles-mêmes. La philosophie de l’approche est donc différente de celle que
nous avons utilisée dans le chapitre 7 où nous avons étudié les propriétés d’une particule
à l’aide de l’ensemble canonique. Par voie de conséquence, la fonction de partition grand
canonique est le produit des fonctions de partition associées à chaque micro-état. Comme
ceux-ci sont discernables les uns des autres, il n’y a pas lieu d’introduire le fameux facteur
N! nécessaire à un traitement correct du gaz parfait classique (sections 5.4 et 5.5).
Les expressions que nous avons obtenues dans cette section peuvent sembler à première
vue différentes de celles que nous avons calculées dans la section 9.1.1. En fait, il n’en
est rien. En effet, la somme
i portant sur tous les micro-états à une particule peut
être remplacée, lorsque les niveaux d’énergie sont nombreux et rapprochés, par une intégrale sur l’énergie des états à une particule. Nous avons vu, dans la section 9.1.1, que
le nombre de micro-états à une particule dont l’énergie est comprise entre ´ et ´ + d´ est
égale, lorsque ´ > 0, à :
g
2pV
h 3 (2m)
3/2 √
´
(59)
Cette expression résulte du dénombrement des micro-états dans l’espace de phase
(équation 2). L’équation (59) représente en quelque sorte la dégénérescence des niveaux
d’énergie compris entre ´ et ´ + d´. En conséquence, pour les systèmes macroscopiques,
une excellente approximation des expressions obtenues dans cette section peut être faite
par la substitution suivante :
i
. . . → g
2pV
h 3 (2m)
3/2
∞
0
√
´ . . . d´
(60)
celle-ci permet de retrouver tous les résultats de la section 9.1.1. Par exemple :
N =
i
1
exp(
´ i − m
kT
) + 1
= g
2pV
h 3 (2m)
3/2
∞
0
√
´d´
exp(
´ − m
kT
) + 1
(61)
On retrouve l’équation (12). Nous laissons le soin au lecteur de vérifier les autres
équations. L’approximation (60) n’est valable que pour les énergies ´ qui ne sont pas
trop proches du niveau le plus bas. Pour une boîte cubique, il faut typiquement que
´
p 2 2
2mV 2/3 et que le nombre de particules soit grand, i.e. être dans le cadre de la
limite thermodynamique. Ceci n’est pas un problème pour un gaz classique, ou pour un