9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
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ce qui conduit à :
Log J =
∞
i=0
Log
1 + exp(
m − ´ i
kT
)
(49)
et nous permet de calculer le grand potentiel C :
C = −kT Log J = −kT
∞
i=0
Log
1 + exp(
m − ´ i
kT
)
= −
i
c i
(50)
où c i est le grand potentiel associé au micro-état i. On peut vérifier que le nombre d’occupation moyen du micro-état i, donné par l’équation (8.45), vaut :
= −
∂c i
∂m
=
exp(
m − ´ i
kT
)
1 + exp(
m − ´ i
kT
)
=
1
exp(
´ i − m
kT
) + 1
(51)
Utilisons à présent les équations (8.38) à (8.40) pour calculer quelques quantités thermodynamiques :
P = kT
∂ Log J
∂V
T,m
= −
i
1
exp(
´ i − m
kT
) + 1
d´ i
dV
(52)
N = kT
∂ Log J
∂m
T,V
=
i
1
exp(
´ i − m
kT
) + 1
(53)
S = kT
∂ Log J
∂T
V,m
+ k Log J
= −k
i
(
m − ´ i
kT
)
exp(
´ i − m
kT
) + 1
+ k
i
Log
1 + exp(
m − ´ i
kT
)
(54)
E = kT
2
∂ Log J
∂T
V,m
+ kTm
∂ Log J
∂m
T,V
=
i
´ i
exp(
´ i − m
kT
) + 1
(55)
En comparant les équations (53-55), on retrouve l’équation (8.32). D’autre part, à partir
de (53), on constate que :
N =
i

(56)
dont l’interprétation est évidente. Pour la pression, donnée par (52), on peut écrire :
P = −
i

d´ i
dV
(57)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.