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Physique statistique
{n i } sans la contrainte (44). Dans ce cas on obtient :
J =
{n i }
exp
i
mn i − n i ´ i
kT
(46)
où nous avons remplacé N par son expression (44), en fonction de n i . Dans l’équation
(46), la somme entre parenthèses porte sur tous les micro-états à une particule. Ceux-ci
sont numérotés de zéro à l’infini. La seconde somme porte sur tous les ensembles {n i }
des nombres d’occupation. L’exponentielle de l’équation (46) peut aussi s’écrire :
exp
i
mn i − ´ i n i
kT
=
i
exp
mn i − ´ i n i
kT
(47)
Remarque. Le passage de l’expression (45) à (46) n’est pas trivial. Il est valable pour
des fermions comme pour des bosons. Nous allons l’illustrer sur un exemple simple qui
permet d’en mieux comprendre l’essence. Supposons que nous ayons à évaluer la somme
S =
∞
N=0
∼
n1+n2=N
a
n1 b
n2 (cela pourrait être la fonction de partition associée à un système
ne contenant que deux micro-états à une particule). La somme
∼
n1+n2=N
signifie qu’il faut
sommer sur tous les couples (n 1 , n 2 ) tels que n 1 + n 2 = N. On peut donc l’écrire comme
N
n=0 a
n b
N−n . Pour chaque valeur de n on a une séquence de termes. Par exemple :
N = 0
1
N = 1
a + b
N = 2
a
2 + ab + b
2
N = 3
a
3 + a
2 b + ab
2 + b
3
....................................
La somme de toutes les lignes donne S. On obtient le même résultat en groupant
les termes de façon un peu différente, en sommant le long d’une ligne oblique :
S = (1 + b + b
2 + b
3 + . . .) + a(1 + b + b
2 + b
3 + . . .) + a
2 (1 + b + b
2 + b
3 + . . .) + . . . On en
déduit S =
∞
n=0 a
n
∞
m=0 b
m
. C’est précisément ce que nous avons fait en passant de
(45) à (46).
Pour effectuer la somme portant sur {n i } dans l’équation (46), il suffit de remarquer que,
pour les fermions, n i ne peut prendre que deux valeurs, 0 ou 1, puisque chaque micro-état
i à une particule peut être vide (n i = 0) ou occupé (n i = 1). Donc :
J =
{n i }
i
exp
mn i − ´ i n i
kT
=
i
1
n i =0
exp
mn i − ´ i n i
kT
=
i
1 + exp
m − ´ i
kT
(48)