9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
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En résumé, on obtient la relation suivante qui est valable lorsque kT ´ F :
m = ´ F
1 −
p 2
12
kT
´ F
2
(70)
En utilisant cette équation, ainsi que les développements limités de I n (h) donnés dans
l’annexe A4, on trouve, après quelques opérations élémentaires :
E =
3
5
N´ F
1 +
5p 2
12
kT
´ F
2
(71)
S =
p 2
2
Nk
kT
´ F
(72)
P =
2
5
N
V
´ F
1 +
5p 2
12
kT
´ F
2
(73)
C V =
p 2
2
Nk
kT
´ F
(74)
On retrouve avec l’équation (72) le troisième principe de la thermodynamique. À basse
température, il est bon de noter que l’énergie et la pression d’un gaz de Fermi sont
supérieures à la valeur qu’elles auraient si ce gaz avait un comportement classique. Ceci
provient du principe d’exclusion de Pauli qui induit une certaine « répulsion » entre les
particules. Lorsque la température augmente, le gaz de Fermi se comporte comme un
gaz classique.
L’évolution de la distribution de Fermi en fonction de la température est illustrée dans
la figure 2. Pour T = 0, tous les états dont l’énergie est inférieure à ´ F sont occupés. Pour
T > T F = ´ F /k, la probabilité d’occupation des niveaux devient petite devant l’unité et
le gaz de Fermi a un comportement qui tend vers celui d’un gaz classique.
Figure 9.2
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.