7 • Le gaz parfait classique
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Ce qui donne, en utilisant les résultats de l’annexe A3.3 :
<
p 2
x
2m
>=
1
2
kT
(85)
Pour l’énergie moyenne associée aux directions y et z, on obtiendrait le même résultat
car p x , p y et p z jouent des rôles symétriques. Donc :
p 2
x
2m
=
p 2
y
2m
=
p 2
z
2m
=
1
2
kT
(86)
Nous constatons que chaque terme quadratique
p 2
i
2m
donne une contribution à l’énergie
moyenne égale à
1
2 kT.
Supposons à présent que la particule évolue dans un potentiel :
U =
1
2
Kx
2 +
1
2
Ky
2 +
1
2
Kz
2
(87)
L’énergie potentielle moyenne,
1
2 Kx 2
selon la direction x, est obtenue en tenant un
raisonnement analogue à celui que nous avons utilisé pour obtenir l’équation (84). La
valeur moyenne,
1
2 Kx 2
, est donnée par l’équation (84) en remplaçant
1
2m
par K et p x
par x. On obtient également la valeur
1
2 kT. Soit :
1
2
Kx
2
=
1
2
Ky
2
=
1
2
Kz
2
=
1
2
kT
(88)
Les résultats précédents nous permettent d’énoncer le théorème d’équipartition de
l’énergie :
L’énergie moyenne d’un système dont l’énergie totale est la somme des carrés
des composantes de l’impulsion, ou des coordonnées, est égale à
1
2 kT fois le
nombre de ces termes quadratiques.
Exemples
• Pour un gaz parfait contenant N particules, il y a 3N termes quadratiques, donc =
3
2 NkT.
Nous retrouvons l’équation (7).
• L’énergie d’un oscillateur harmonique à trois dimensions possède 6 termes quadratiques, donc
= 3kT.
Il faut faire attention de n’appliquer le théorème de l’équipartition que dans le cas où
l’énergie totale n’est composée que de termes quadratiques. Si l’énergie potentielle
contenait un terme comme
1
2 Kx 3 , par exemple, nous ne pourrions plus l’appliquer. Il est
aussi important de noter que le théorème d’équipartion n’est valable que lorsque le système a un comportement classique. Son utilisation pour un système quantique conduirait
à des résultats erronés (cf. exercice 8).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.