152
Physique statistique
Donc :
vz>0
v
2
z f (v)dv =
vz<0
v
2
z f (v)dv =
1
2
v
2
z f (v)dv
(77)
où la dernière intégrale est prise sur tout l’espace des vitesses. Or :
1
r
f (v)v
2
z dv = 2
z >
(78)
donc :
dp = rm 2
z > dt dS ˆ
n
(79)
La force s’exerçant sur dS est donnée par (62), soit :
F =
dp
dt
= rm 2
z > dS ˆ
n
(80)
La pression, qui est la force par unité de surface, s’écrit :
P =
F. ˆ
n
dS
= rm 2
z >
(81)
Ce qui, compte tenu de (46), donne :
P = rkT =
N
V
kT
(82)
On retrouve, par cette méthode, l’équation d’état des gaz parfaits.
7.6 THÉORÈME D’ÉQUIPARTITION DE L’ÉNERGIE
La forme particulière de l’énergie cinétique des particules, qui est une fonction quadratique des impulsions, permet de déduire très simplement un certain nombre de propriétés
concernant l’énergie moyenne d’un gaz parfait. Ceci est connu sous le nom de théorème
de l’équipartition de l’énergie. Il est également possible de généraliser ce théorème à
des particules dans un champ de potentiel si celui-ci est une fonction quadratique des
coordonnées. Afin de ne pas alourdir les notations, nous allons le démontrer dans le cas
d’une particule libre car sa généralisation à N particules indépendantes est immédiate.
L’énergie d’une particule libre est égale à :
E =
p 2
x
2m
+
p 2
y
2m
+
p 2
z
2m
(83)
La probabilité pour que la particule ait une impulsion comprise entre p x et p x + dp x
s’obtient de la même manière que celle que nous avons utilisée pour calculer l’expression
(41) ; elle est proportionnelle à exp(−
p 2
x
2mkT
). Par conséquent :
p 2
x
2m
=
+∞
−∞
p 2
x
2m
exp(−
p 2
x
2mkT
)dp x
+∞
−∞ exp(−
p 2
x
2mkT
)dp x
(84)