7 • Le gaz parfait classique
145
coordonnées cartésiennes :
dv e −
mv 2
2kT
=
+∞
−∞
dv x e −
mv 2
x
2kT
+∞
−∞
dv y e −
mv 2
y
2kT
+∞
−∞
dv z e −
mv 2
z
2kT
=
⎛
⎜
⎝
+∞
−∞
dv x e
−
mv 2
x
2kT
⎞
⎟
⎠
3
(36)
Compte tenu des résultats de l’annexe A3.3, il vient :
CV
2pkT
m
3/2
= N
(37)
Appelons r =
N
V
le nombre de particules par unité de volume. Alors :
f (r, v) = r
m
2pkT
3/2
e
−
mv 2
2kT
(38)
Comme f (r, v) ne dépend pas de r (r est constant) mais seulement de v, nous écrirons
par la suite f (r, v) = f (v). La distribution f (v) s’appelle la distribution de Maxwell. Nous
allons étudier ses propriétés en détails.
Remarque. Ici, f (r, v) ne dépend pas de r car toutes les particules sont libres. Ce ne serait
plus le cas si elles étaient soumises à un champ extérieur dépendant de la position. Nous
en avons vu un exemple dans la section 6.3.4 lors de l’étude d’un gaz parfait dans un
champ gravitationnel. Toutefois, dans les conditions courantes, les systèmes étudiés ont
des dimensions suffisamment petites pour que le champ de pesanteur puisse être considéré
comme constant.
Comme f (v) ne dépend que de v 2 , cette distribution est isotrope dans l’espace des vitesses (aucune direction n’est privilégiée par rapport à une autre). En d’autres termes,
f (v) est simplement fonction du module v du vecteur vitesse. Cette isotropie entraîne
que la distribution des composantes de la vitesse selon n’importe quel axe cartésien est
la même. Évaluons par exemple la distribution g(v x ) correspondant à la composante v x .
Le nombre de particules par unité de volume dont la vitesse a une composante selon x
comprise entre v x et v x + dv x est égal à g(v x ) dv x . Puisqu’aucune contrainte n’est imposée
sur v y et v z , on obtient g(v x ) en intégrant f (v) sur les composantes v y et v z :
g(v x ) =
+∞
−∞
dv z
+∞
−∞
dv y f (r, v)
(39)
soit :
g(v x ) = r
m
2pkT
3/2
e
−
mv 2
x
2kT
+∞
−∞
e
−
mv 2
y
2kT dv y
+∞
−∞
e
−
mv 2
z
2kT dv z
(40)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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coordonnées cartésiennes :
dv e −
mv 2
2kT
=
+∞
−∞
dv x e −
mv 2
x
2kT
+∞
−∞
dv y e −
mv 2
y
2kT
+∞
−∞
dv z e −
mv 2
z
2kT
=
⎛
⎜
⎝
+∞
−∞
dv x e
−
mv 2
x
2kT
⎞
⎟
⎠
3
(36)
Compte tenu des résultats de l’annexe A3.3, il vient :
CV
2pkT
m
3/2
= N
(37)
Appelons r =
N
V
le nombre de particules par unité de volume. Alors :
f (r, v) = r
m
2pkT
3/2
e
−
mv 2
2kT
(38)
Comme f (r, v) ne dépend pas de r (r est constant) mais seulement de v, nous écrirons
par la suite f (r, v) = f (v). La distribution f (v) s’appelle la distribution de Maxwell. Nous
allons étudier ses propriétés en détails.
Remarque. Ici, f (r, v) ne dépend pas de r car toutes les particules sont libres. Ce ne serait
plus le cas si elles étaient soumises à un champ extérieur dépendant de la position. Nous
en avons vu un exemple dans la section 6.3.4 lors de l’étude d’un gaz parfait dans un
champ gravitationnel. Toutefois, dans les conditions courantes, les systèmes étudiés ont
des dimensions suffisamment petites pour que le champ de pesanteur puisse être considéré
comme constant.
Comme f (v) ne dépend que de v 2 , cette distribution est isotrope dans l’espace des vitesses (aucune direction n’est privilégiée par rapport à une autre). En d’autres termes,
f (v) est simplement fonction du module v du vecteur vitesse. Cette isotropie entraîne
que la distribution des composantes de la vitesse selon n’importe quel axe cartésien est
la même. Évaluons par exemple la distribution g(v x ) correspondant à la composante v x .
Le nombre de particules par unité de volume dont la vitesse a une composante selon x
comprise entre v x et v x + dv x est égal à g(v x ) dv x . Puisqu’aucune contrainte n’est imposée
sur v y et v z , on obtient g(v x ) en intégrant f (v) sur les composantes v y et v z :
g(v x ) =
+∞
−∞
dv z
+∞
−∞
dv y f (r, v)
(39)
soit :
g(v x ) = r
m
2pkT
3/2
e
−
mv 2
x
2kT
+∞
−∞
e
−
mv 2
y
2kT dv y
+∞
−∞
e
−
mv 2
z
2kT dv z
(40)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.