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Physique statistique
Comme N est grand, les nombres quantiques mis en jeu sont très grands. On retrouve
donc un résultat connu, à savoir que la mécanique classique s’applique dans la limite des
grands nombres quantiques.
7.4 DISTRIBUTION DE MAXWELL
La distribution des vitesses des particules constituant un gaz parfait classique à la température T est une quantité qu’il est important d’étudier en détail car elle est utilisée dans
le cadre de la théorie cinétique des gaz. Dans les deux premières sections, nous avons vu
que la probabilité pour qu’une particule ait une impulsion comprise entre p et p + dp, et
soit située dans un volume dr compris entre r et r + dr, est égale à :
P(r, p)dr dp =
1
z
dr dp
h 3 e
−
p 2
2mkT
(30)
où la fonction de partition, z, est une constante donnée par (20). En particulier, la probabilité pour qu’une particule située entre r et r + dr ait une vitesse comprise entre v et
v + dv est obtenue en remplaçant p, dans l’expression (32), par :
p = mv et dp par : dp = dp x dp y dp z = m
3 dv x dv y dv z = m
3 dv
(31)
Ce qui conduit à :
P(r, v) =
m 3
z
drdv
h 3 e
−
mv 2
2kT
(32)
Soit f (r, v)drdv le nombre de particules situées entre r et r + dr ayant une vitesse comprise entre v et v + dv. Compte tenu de l’équation (33) on doit avoir :
f (r, v) dr dv = Ce
−
mv 2
2kT dr dv
(33)
où C est une constante qui est déterminée par la condition :
f (r, v)dr dv = N
(34)
qui exprime le fait que si l’on intègre sur toutes les vitesses possibles et sur toutes les
positions possibles d’une particule dans le volume V on obtient le nombre total de particules. Comme f (r, v) ne dépend que de v, l’intégrale sextuple correspondant à l’équation
(34) peut s’écrire comme le produit de deux intégrales triples :
f (r, v)drdv = C
dr
e
−
mv 2
2kT dv = CV
dve
−
mv 2
2kT
(35)
Dans l’équation (35) on a tenu compte du fait que l’intégrale relative à l’espace ordinaire donne V. Pour évaluer l’intégrale triple dans l’espace des vitesses, plaçons nous en
Physique statistique
Comme N est grand, les nombres quantiques mis en jeu sont très grands. On retrouve
donc un résultat connu, à savoir que la mécanique classique s’applique dans la limite des
grands nombres quantiques.
7.4 DISTRIBUTION DE MAXWELL
La distribution des vitesses des particules constituant un gaz parfait classique à la température T est une quantité qu’il est important d’étudier en détail car elle est utilisée dans
le cadre de la théorie cinétique des gaz. Dans les deux premières sections, nous avons vu
que la probabilité pour qu’une particule ait une impulsion comprise entre p et p + dp, et
soit située dans un volume dr compris entre r et r + dr, est égale à :
P(r, p)dr dp =
1
z
dr dp
h 3 e
−
p 2
2mkT
(30)
où la fonction de partition, z, est une constante donnée par (20). En particulier, la probabilité pour qu’une particule située entre r et r + dr ait une vitesse comprise entre v et
v + dv est obtenue en remplaçant p, dans l’expression (32), par :
p = mv et dp par : dp = dp x dp y dp z = m
3 dv x dv y dv z = m
3 dv
(31)
Ce qui conduit à :
P(r, v) =
m 3
z
drdv
h 3 e
−
mv 2
2kT
(32)
Soit f (r, v)drdv le nombre de particules situées entre r et r + dr ayant une vitesse comprise entre v et v + dv. Compte tenu de l’équation (33) on doit avoir :
f (r, v) dr dv = Ce
−
mv 2
2kT dr dv
(33)
où C est une constante qui est déterminée par la condition :
f (r, v)dr dv = N
(34)
qui exprime le fait que si l’on intègre sur toutes les vitesses possibles et sur toutes les
positions possibles d’une particule dans le volume V on obtient le nombre total de particules. Comme f (r, v) ne dépend que de v, l’intégrale sextuple correspondant à l’équation
(34) peut s’écrire comme le produit de deux intégrales triples :
f (r, v)drdv = C
dr
e
−
mv 2
2kT dv = CV
dve
−
mv 2
2kT
(35)
Dans l’équation (35) on a tenu compte du fait que l’intégrale relative à l’espace ordinaire donne V. Pour évaluer l’intégrale triple dans l’espace des vitesses, plaçons nous en