7 • Le gaz parfait classique
143
et : l =
h
√
2m < ´ >
= 7, 65 10
−11 m. On obtient d l ce qui implique que ce gaz doit avoir
un comportement classique. Ceci est confirmé par l’expérience. Pour d’autres gaz, la masse m
des particules est encore plus grande et l’approximation encore meilleure.
• La température d’ébullition normale de l’hélium est de 4,2 K. Même si les interactions entre
les atomes pouvaient être négligées, on ne pourrait pas appliquer la mécanique classique. En effet, il y a 2 10
28 atomes par m
3 dans le liquide, donc d = 3, 7 10
−10 m à 4,2 K. Par conséquent
d ∼ l et un tel liquide a un comportement quantique.
• Considérons les électrons de conduction d’un métal. Sous de nombreux aspects, on peut considérer qu’ils forment un gaz parfait. S’il y a un électron de conduction par atome
N
V
≈ 10
29
et d ∼ 2 10
−10 m. Comme la masse de l’électron vaut m = 9, 1 10
−31 kg, on en déduit qu’à
T = 273 K : l ≈ 6, 5 10
−9 m. Un tel gaz ne peut pas être considéré comme classique à cause de
la faible masse de l’électron.
Voyons à présent quelques conséquences directes de la condition (24) :
1- Un comportement classique signifie que le nombre d’occupation moyen d’un microétat d’énergie ´ est très faible. En effet, la probabilité d’avoir un micro-état d’énergie ´
est donnée par :
P =
e −b´
Z
=
1
V
h 2
2pmkT
3/2
e −b´
(25)
S’il y a N particules, le nombre d’occupation moyen d’un micro-état d’énergie ´
vaut :
= NP =
N
V
h 2
2pmkT
3/2
e −b´
(26)
La condition (24) signifie que 1. La probabilité d’occuper un micro-état particulier est très faible. Ceci provient de ce qu’il y a beaucoup plus de micro-états que de
particules. Ceci justifie en particulier le facteur N!, intervenant dans le calcul de la fonction de partition totale Z, qui n’est exact, on l’a vu plus haut, que lorsque la probabilité
d’occupation multiple des niveaux est négligeable.
2- Lorsque l’approximation classique est valable, les nombres quantiques mis en jeu sont
grands. Reprenons l’exemple d’un gaz parfait dans une boîte cubique pour illustrer ce
point. Les niveaux d’énergie de particule individuelle sont donnés par l’équation (141)
du chapitre 6. Si nous prenons la moyenne des deux membres nous obtenons :
<´>=
p 2 2
2mV 2/3 (n
2
x + n
2
y + n
2
z ) =
3
2
kT
(27)
soit :
x > +
y > +
z >=
12mkT
h 2 V
2/3
(28)
Ce qui, compte tenu de (24), implique que :
x > +
y > +
z > N
2/3
(29)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
143
et : l =
h
√
2m < ´ >
= 7, 65 10
−11 m. On obtient d l ce qui implique que ce gaz doit avoir
un comportement classique. Ceci est confirmé par l’expérience. Pour d’autres gaz, la masse m
des particules est encore plus grande et l’approximation encore meilleure.
• La température d’ébullition normale de l’hélium est de 4,2 K. Même si les interactions entre
les atomes pouvaient être négligées, on ne pourrait pas appliquer la mécanique classique. En effet, il y a 2 10
28 atomes par m
3 dans le liquide, donc d = 3, 7 10
−10 m à 4,2 K. Par conséquent
d ∼ l et un tel liquide a un comportement quantique.
• Considérons les électrons de conduction d’un métal. Sous de nombreux aspects, on peut considérer qu’ils forment un gaz parfait. S’il y a un électron de conduction par atome
N
V
≈ 10
29
et d ∼ 2 10
−10 m. Comme la masse de l’électron vaut m = 9, 1 10
−31 kg, on en déduit qu’à
T = 273 K : l ≈ 6, 5 10
−9 m. Un tel gaz ne peut pas être considéré comme classique à cause de
la faible masse de l’électron.
Voyons à présent quelques conséquences directes de la condition (24) :
1- Un comportement classique signifie que le nombre d’occupation moyen d’un microétat d’énergie ´ est très faible. En effet, la probabilité d’avoir un micro-état d’énergie ´
est donnée par :
P =
e −b´
Z
=
1
V
h 2
2pmkT
3/2
e −b´
(25)
S’il y a N particules, le nombre d’occupation moyen
vaut :
N
V
h 2
2pmkT
3/2
e −b´
(26)
La condition (24) signifie que
particules. Ceci justifie en particulier le facteur N!, intervenant dans le calcul de la fonction de partition totale Z, qui n’est exact, on l’a vu plus haut, que lorsque la probabilité
d’occupation multiple des niveaux est négligeable.
2- Lorsque l’approximation classique est valable, les nombres quantiques mis en jeu sont
grands. Reprenons l’exemple d’un gaz parfait dans une boîte cubique pour illustrer ce
point. Les niveaux d’énergie de particule individuelle sont donnés par l’équation (141)
du chapitre 6. Si nous prenons la moyenne des deux membres nous obtenons :
<´>=
p 2 2
2mV 2/3 (n
2
x + n
2
y + n
2
z ) =
3
2
kT
(27)
soit :
x > +
y > +
z >=
12mkT
h 2 V
2/3
(28)
Ce qui, compte tenu de (24), implique que :
x > +
y > +
z > N
2/3
(29)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.