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Physique statistique
ce qui, compte tenu de l’annexe A3.3, donne :
g(v x ) = r
m
2pkT
1/2
e
−
mv 2
x
2kT
(41)
On a bien entendu g(v x ) = g(v y ) = g(v z ). On peut vérifier aisément que :
+∞
−∞
g(v x )dv x = r
(42)
g(v x ) est une distribution gaussienne centrée en v x = 0. La valeur moyenne de la
composante de la vitesse selon l’axe x vaut :
=
+∞
−∞ v x g(v x )dv x
+∞
−∞ g(v x )dv x
=
1
r
+∞
−∞
v x g(v x ) dv x = 0
(43)
car la fonction à intégrer est impaire. De manière imagée cela signifie qu’il y a, en
moyenne, autant de particules qui vont vers la gauche que vers la droite. Ceci n’est bien
entendu vrai que dans le référentiel du centre de masse du gaz pris dans sa totalité.
Remarque. La distribution f (v) n’est pas normalisée à l’unité mais à r, qui représente
le nombre de particules par unité de volume. La probabilité pour qu’une particule ait une
vitesse comprise entre v et v + dv vaut donc :
P(v)dv =
1
r
f (v)dv
(44)
La moyenne de v 2
x donne la dispersion de la distribution autour de :
2
x >=
1
r
+∞
−∞
v
2
x g(v x ) dv x =
m
2pkT
1/2
+∞
−∞
v
2
x e
−
mv 2
x
2kT dv x =
kT
m
(45)
La variance de la distribution g(v x ) est égale à x > − < v x > 2 . Elle vaut
kT
m
. Comme
la distribution des vitesses est isotrope :
2
x >= 2
y >= 2
z >=
kT
m
(46)
ce qui donne pour l’énergie moyenne d’une particule :
1
2
m 2
>=
1
2
m( 2
y > + 2
y > + 2
z >) =
3
2
kT
(47)
L’expression ci-dessus est une application particulière du théorème d’équipartition que
nous démontrerons plus loin dans la section 7.6. Puisque la distribution de vitesse est isotrope, il est intéressant de se placer en coordonnées sphériques et de calculer le nombre
de particules g(v)dv dont le module de la vitesse est compris entre v et v + dv. Cette
distribution est obtenue en intégrant f (v) sur toutes les directions possibles :
g(v)dv =
2p
0
dw
p
0
sin u du v
2 dv f (v)
(48)