6 • L’ensemble canonique
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6.3 APPLICATIONS DE L’ENSEMBLE CANONIQUE
Afin d’appliquer concrètement les notions que nous venons d’introduire, nous allons
maintenant présenter quelques applications simples de l’ensemble canonique.
6.3.1 Paramagnétisme
Le phénomène de paramagnétisme est observé lorsque les atomes ou les molécules d’une
substance ont un moment magnétique permanent. Celui-ci peut provenir du spin des
électrons non appariés dans les orbitales atomiques ou moléculaires, d’un moment orbital non nul des électrons résultant d’un remplissage incomplet de sous-couches atomiques, ou de la superposition des deux effets précédents. Lorsque l’on met une substance paramagnétique dans un champ magnétique B, les moments magnétiques M de
chaque particule ont tendance à s’aligner. Dans le chapitre 5, nous avons donné la relation entre le moment magnétique et le spin d’un électron non apparié dans une souscouche s. Nous allons considérer ici un modèle très simple où N particules identiques
par unité de volume sont localisées sur un réseau (ce qui les rend discernables). Nous
supposons qu’elles ont un seul électron célibataire dont le moment orbital est nul (c’est
le cas d’un atome ayant un électron célibataire dans une orbitale s). On suppose que ces
particules sont sans interaction entre elles, et au repos. Le moment magnétique associé
M est donné par l’équation (5.72). Il est dirigé parallèlement ou antiparallèlement à la
direction du spin. Si l’on applique un champ magnétique B, les particules vont avoir tendance à s’aligner selon la direction du champ magnétique mais l’agitation thermique va
essayer de s’y opposer. La mécanique quantique prédit deux niveaux d’énergie possibles
pour chaque particule :
E ↑ = −MB et E ↓ = +MB
(30)
selon que M est parallèle, ou antiparallèle à B. Nous allons négliger l’influence du champ
magnétique créé par l’alignement des moments magnétiques. Si la température du réseau
est T, on peut appliquer l’ensemble canonique à chaque particule du réseau car cellesci sont discernables. Les autres particules jouent le rôle du thermostat. Les probabilités
d’être dans les états ↑ et ↓ sont respectivement égales à :
P ↑ =
1
Z
e
MB
kT
et P ↓ =
1
Z
e
−
MB
kT
(31)
où :
Z = e
−
MB
kT + e
MB
kT
(32)
Posons x =
MB
kT
, alors :
P ↑ =
1
Z
e
x
; P ↓ =
1
Z
e
−x
et Z = e
x + e
−x
(33)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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6.3 APPLICATIONS DE L’ENSEMBLE CANONIQUE
Afin d’appliquer concrètement les notions que nous venons d’introduire, nous allons
maintenant présenter quelques applications simples de l’ensemble canonique.
6.3.1 Paramagnétisme
Le phénomène de paramagnétisme est observé lorsque les atomes ou les molécules d’une
substance ont un moment magnétique permanent. Celui-ci peut provenir du spin des
électrons non appariés dans les orbitales atomiques ou moléculaires, d’un moment orbital non nul des électrons résultant d’un remplissage incomplet de sous-couches atomiques, ou de la superposition des deux effets précédents. Lorsque l’on met une substance paramagnétique dans un champ magnétique B, les moments magnétiques M de
chaque particule ont tendance à s’aligner. Dans le chapitre 5, nous avons donné la relation entre le moment magnétique et le spin d’un électron non apparié dans une souscouche s. Nous allons considérer ici un modèle très simple où N particules identiques
par unité de volume sont localisées sur un réseau (ce qui les rend discernables). Nous
supposons qu’elles ont un seul électron célibataire dont le moment orbital est nul (c’est
le cas d’un atome ayant un électron célibataire dans une orbitale s). On suppose que ces
particules sont sans interaction entre elles, et au repos. Le moment magnétique associé
M est donné par l’équation (5.72). Il est dirigé parallèlement ou antiparallèlement à la
direction du spin. Si l’on applique un champ magnétique B, les particules vont avoir tendance à s’aligner selon la direction du champ magnétique mais l’agitation thermique va
essayer de s’y opposer. La mécanique quantique prédit deux niveaux d’énergie possibles
pour chaque particule :
E ↑ = −MB et E ↓ = +MB
(30)
selon que M est parallèle, ou antiparallèle à B. Nous allons négliger l’influence du champ
magnétique créé par l’alignement des moments magnétiques. Si la température du réseau
est T, on peut appliquer l’ensemble canonique à chaque particule du réseau car cellesci sont discernables. Les autres particules jouent le rôle du thermostat. Les probabilités
d’être dans les états ↑ et ↓ sont respectivement égales à :
P ↑ =
1
Z
e
MB
kT
et P ↓ =
1
Z
e
−
MB
kT
(31)
où :
Z = e
−
MB
kT + e
MB
kT
(32)
Posons x =
MB
kT
, alors :
P ↑ =
1
Z
e
x
; P ↓ =
1
Z
e
−x
et Z = e
x + e
−x
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c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.