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Physique statistique
En posant :
Z =
{M}
exp(−bE i )
(25)
nous introduisons, comme précédemment, la fonction de partition Z. Nous avons alors :
P i =
1
Z
exp(−bE i )
(26)
qui permet d’écrire, en tenant compte de (17) :
S = −k
{M}
P i Log P i = k( Log Z + b
{M}
P i E i ) = k( Log Z + b)
(27)
Lorsque S est maximum, ce qui est le cas ici, l’entropie d’information peut être identifiée
à l’entropie statistique, i.e. à l’entropie thermodynamique. La valeur moyenne n’est
autre que l’énergie interne thermodynamique. Sachant que Z est une fonction de b, V et
N et que ces quantités sont constantes, on en déduit :
∂S
∂
V,N
= kb
(28)
or
∂S
∂
V,N
est égale à
1
T
(équation 4.16). Donc :
b =
1
kT
(29)
comme dans la section précédente. Nous retrouvons ainsi la distribution canonique.
Celle-ci peut donc s’appliquer, soit lorsque la température du système est constante,
soit lorsque son énergie moyenne est fixée. Néanmoins, dans la pratique, cette dernière
condition ne peut être obtenue que lorsque le système est en contact avec un thermostat. Enfin, rappelons que dans le cas de l’ensemble microcanonique c’est l’énergie E du
système qui est fixée, alors que dans le cas de l’ensemble canonique c’est son énergie
moyenne.
Remarque. Lorsque l’on utilise l’ensemble microcanonique, on ne considère que les
micro-états accessibles au système, i.e. ceux pour lesquels l’énergie est comprise entre E
et E + dE. L’évaluation de leur nombre est en général difficile aussi utilise-t-on rarement
cet ensemble dans les applications. Dans le cas présent (ensemble canonique), on considère que tous les micro-états sont possibles (il n’y a aucune contrainte sur l’énergie). La
sélection de ceux qui ont une contribution importante, compte tenu des conditions imposées au système, se fait par le facteur de Boltzmann qui rend la contribution des autres
micro-états négligeable. L’existence de fluctuations de l’énergie totale autour de la valeur
moyenne < E > n’est pas importante pour les systèmes constitués d’un grand nombre
de particules, ce qui est le cas pour les systèmes macroscopiques. Pour ces derniers, les
fluctuations en énergie sont alors faibles, de l’ordre de dE ou même inférieures. Dans ce
cas, on peut utiliser l’ensemble canonique à la place de l’ensemble microcanonique pour
décrire les propriétés d’un système isolé. Il n’y a que dans les situations, par ailleurs peu
fréquentes, où l’on considère un faible nombre de particules, que l’on observe des différences dans les résultats obtenus avec les deux types d’ensembles. Comme nous allons le
voir dans la suite, l’ensemble canonique est beaucoup plus facile à utiliser que l’ensemble
microcanonique.
Physique statistique
En posant :
Z =
{M}
exp(−bE i )
(25)
nous introduisons, comme précédemment, la fonction de partition Z. Nous avons alors :
P i =
1
Z
exp(−bE i )
(26)
qui permet d’écrire, en tenant compte de (17) :
S = −k
{M}
P i Log P i = k( Log Z + b
{M}
P i E i ) = k( Log Z + b
(27)
Lorsque S est maximum, ce qui est le cas ici, l’entropie d’information peut être identifiée
à l’entropie statistique, i.e. à l’entropie thermodynamique. La valeur moyenne
autre que l’énergie interne thermodynamique. Sachant que Z est une fonction de b, V et
N et que ces quantités sont constantes, on en déduit :
∂S
∂
V,N
= kb
(28)
or
∂S
∂
V,N
est égale à
1
T
(équation 4.16). Donc :
b =
1
kT
(29)
comme dans la section précédente. Nous retrouvons ainsi la distribution canonique.
Celle-ci peut donc s’appliquer, soit lorsque la température du système est constante,
soit lorsque son énergie moyenne est fixée. Néanmoins, dans la pratique, cette dernière
condition ne peut être obtenue que lorsque le système est en contact avec un thermostat. Enfin, rappelons que dans le cas de l’ensemble microcanonique c’est l’énergie E du
système qui est fixée, alors que dans le cas de l’ensemble canonique c’est son énergie
moyenne
Remarque. Lorsque l’on utilise l’ensemble microcanonique, on ne considère que les
micro-états accessibles au système, i.e. ceux pour lesquels l’énergie est comprise entre E
et E + dE. L’évaluation de leur nombre est en général difficile aussi utilise-t-on rarement
cet ensemble dans les applications. Dans le cas présent (ensemble canonique), on considère que tous les micro-états sont possibles (il n’y a aucune contrainte sur l’énergie). La
sélection de ceux qui ont une contribution importante, compte tenu des conditions imposées au système, se fait par le facteur de Boltzmann qui rend la contribution des autres
micro-états négligeable. L’existence de fluctuations de l’énergie totale autour de la valeur
moyenne < E > n’est pas importante pour les systèmes constitués d’un grand nombre
de particules, ce qui est le cas pour les systèmes macroscopiques. Pour ces derniers, les
fluctuations en énergie sont alors faibles, de l’ordre de dE ou même inférieures. Dans ce
cas, on peut utiliser l’ensemble canonique à la place de l’ensemble microcanonique pour
décrire les propriétés d’un système isolé. Il n’y a que dans les situations, par ailleurs peu
fréquentes, où l’on considère un faible nombre de particules, que l’on observe des différences dans les résultats obtenus avec les deux types d’ensembles. Comme nous allons le
voir dans la suite, l’ensemble canonique est beaucoup plus facile à utiliser que l’ensemble
microcanonique.