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Physique statistique
Calculons le moment magnétique moyen d’une particule :
=
(M)P ↑ + (−M)P ↓
Z
= M
e x − e −x
e x + e −x = M tanh x = M tanh
MB
kT
(34)
• Si T est très grand (kT MB), x → 0 et tanh
MB
kT
→
MB
kT
, d’où :
=
M 2 B
kT
→ 0
(35)
Les états ↑ et ↓ sont équiprobables : P ↑ = P ↓ =
1
2 . L’énergie d’agitation thermique l’emporte sur l’énergie magnétique et M est distribué uniformément dans les deux directions.
• Si T → 0 (kT MB), x → ∞ et tanh
MB
kT
→ 1. D’où :
→ M
(36)
On a P ↑ = 1 et P ↓ = 0. Le système est dans son état d’énergie le plus bas (E ↑ = −MB).
Comme il y a N particules par unité de volume, le moment magnétique moyen par unité
de volume vaut :
= N
(37)
On appelle susceptibilité magnétique, x, le coefficient de proportionnalité entre
et B, lorsque B → 0 :
= xB
(38)
Si kT MB, on a :
x =
NM 2
kT
(39)
La susceptibilité magnétique est proportionnelle à
1
T
(loi de Curie).
6.3.2 Système à deux niveaux d’énergie dégénérés
Afin de bien comprendre l’utilisation de l’ensemble canonique dans le cas d’un système dont les niveaux sont dégénérés, nous allons considérer un système à deux niveaux
d’énergie. Nous supposerons que le premier niveau, d’énergie E 1 , est deux fois dégénéré
et que le second, d’énergie E 2 , est dégénéré trois fois. On suppose le système en équilibre statistique avec un thermostat dont la température est T. Nous allons repérer les
niveaux d’énergie par l’indice r (r =1 ou 2) et chaque micro-état d’énergie E r par l’indice j (j varie de 1 à g r , où g r est la dégénérescence du niveau d’énergie E r ). La fonction
de partition est égale à la somme, sur tous les micro-états, du facteur de Boltzmann :
Z =
2
r=1
{j}
e −bE r =
2
r=1
gr
j=1
e −bE r =
2
r=1
e −bE r
gr
j=1
1 =
2
r=1
g r e −bE r
(40)