5 • L’ensemble microcanonique
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Remarques. 1- Il n’est même pas nécessaire, lorsque N est grand, d’avoir dE E 0 pour
que l’équation (43) soit satisfaite. Il suffirait même d’avoir
dE
E 0
1 pour que cela soit
vrai.
2- La substitution de V par v(E) ou par F(E) dans l’expression de l’entropie peut être
retenue par l’analogie très imagée suivante où l’on considère une orange dans un espace
à n dimensions. Lorsque n est très grand, ce qui est le cas ici, le volume de la peau de
l’orange est pratiquement égal au volume de l’orange entière.
Utilisons la formule de Stirling (annexe A3.1) pour évaluer le logarithme des factorielles.
Nous obtenons après simplifications :
S
k
= −N Log N + N +
3N
2
Log (
p
4
) −
3N
2
Log
3N
2
+
3N
2
+
3N
2
Log
E 0
´ 0
(44)
soit, en remplaçant ´ 0 par sa valeur (équation (2.7)) :
S = Nk Log
V
4pm
3h 2
E 0
N
3/2
+
3
2
Nk + k(−N Log N + N)
(45)
Nous retrouvons le résultat de la thermodynamique, à savoir que S est une fonction de
E = E 0 , de V et de N : S = S(E, V, N). Pour étudier quelle va être son influence sur les
résultats, nous avons à dessein séparé le terme correspondant à Log N! (dans la parenthèses de droite) qui tient compte de l’indiscernabilité des particules. Par commodité,
posons :
a = k(−N Log N + N)
(46)
alors :
S = Nk Log
E 0
N´ 0
3/2
+ Ns 0 + a
(47)
où :
s 0 =
3k
2
1 + Log
p
4
(48)
L’énergie étant quelconque, nous la désignerons à présent par la variable E, sans indice. On peut, à partir de l’expression (47) et de l’équation 2.7, calculer explicitement
l’énergie interne en fonction des variables S, V et N. On trouve :
E = E(S, V, N) =
3h 2
4pm
N
V 2/3 exp(
2
3
S
Nk
− 1 −
2a
3Nk
) =
3h 2
4pm
N 5/3
V 2/3 exp(
2
3
S
Nk
−
5
3
) (49)
La température du système est définie par :
1
T
=
∂S
∂E
V,N
ou T =
∂E
∂S
V,N
(50)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.