94
Physique statistique
Par conséquent, nous obtenons un nombre de micro-états accessibles N! fois trop grand.
Il faut donc diviser le résultat donné par l’équation (37) par N!. Ce raisonnement très
simple conduit à une approximation qui n’est valable que si la probabilité d’occuper un
micro-état particulier est faible. Ceci est vrai pour un gaz parfait à la température ordinaire. Nous discuterons à nouveau ce point en détail dans le chapitre 7. Dans le cadre de
cette approximation qui s’avère excellente, on obtient :
F(E 0 ) =
1
N!
(2pm) 3N/2
3N
2
!
V N
h 3N E
3N/2
0
(38)
Le facteur
1
N!
et le terme
1
h 3N ne peuvent pas être obtenu par des considérations fondées
uniquement sur la mécanique classique. Ces deux termes proviennent d’effets quantiques qui subsistent même lorsque les nombres quantiques qui permettent de décrire le
système sont grands (limite dite semi-classique). L’équation (38) peut être réécrite en
tenant compte de la définition (équation (2.7)) de l’espacement ´ 0 des niveaux dans le
calcul quantique des états d’énergie d’une boîte cubique :
´ 0 =
p 2 2
2mV 2/3 =⇒ F(E 0 ) =
1
N!
p 3N/2
2 3N
3N
2
!
E 0
´ 0
3N/2
(39)
L’intérêt de cette transformation est d’exprimer F(E 0 ) uniquement en fonction de quantités sans dimension. La densité de micro-états à l’énergie E 0 vaut :
v(E 0 ) =
dF(E)
dE
E=E 0
=
1
N!
p 3N/2
2 3N
3N
2 − 1
!
E 0
´ 0
3N
2
−1 1
´ 0
=
1
N!
p 3N/2
2 3N
3N
2 − 1
!
E 0
´ 0
3N
2
1
E 0
(40)
d’où :
V = v(E 0 ) dE =
1
N!
p 3N/2
2 3N
3N
2 − 1
!
E 0
´ 0
3N
2 dE
E 0
(41)
Compte tenu de (2), l’entropie vaut :
S
k
= −
Log N! − Log
3N
2
− 1
!
+
3N
2
Log
p
4
+
3N
2
Log
E 0
´ 0
+ Log
dE
´ 0
(42)
Nous savons, d’après la discussion de la section 2.1, que E ´ 0 . De plus, comme N
est très grand (de l’ordre de 10 23 par exemple)
3N
2
− 1 ≈
3N
2
. D’autre part dE E 0 si
bien que Log dE/E 0 est négligeable comparé aux autres termes. Nous aboutissons donc
aux propriétés suivantes que nous avons déjà évoquées plus haut :
S = k Log V k Log v(E 0 ) k Log F(E 0 )
(43)
Physique statistique
Par conséquent, nous obtenons un nombre de micro-états accessibles N! fois trop grand.
Il faut donc diviser le résultat donné par l’équation (37) par N!. Ce raisonnement très
simple conduit à une approximation qui n’est valable que si la probabilité d’occuper un
micro-état particulier est faible. Ceci est vrai pour un gaz parfait à la température ordinaire. Nous discuterons à nouveau ce point en détail dans le chapitre 7. Dans le cadre de
cette approximation qui s’avère excellente, on obtient :
F(E 0 ) =
1
N!
(2pm) 3N/2
3N
2
!
V N
h 3N E
3N/2
0
(38)
Le facteur
1
N!
et le terme
1
h 3N ne peuvent pas être obtenu par des considérations fondées
uniquement sur la mécanique classique. Ces deux termes proviennent d’effets quantiques qui subsistent même lorsque les nombres quantiques qui permettent de décrire le
système sont grands (limite dite semi-classique). L’équation (38) peut être réécrite en
tenant compte de la définition (équation (2.7)) de l’espacement ´ 0 des niveaux dans le
calcul quantique des états d’énergie d’une boîte cubique :
´ 0 =
p 2 2
2mV 2/3 =⇒ F(E 0 ) =
1
N!
p 3N/2
2 3N
3N
2
!
E 0
´ 0
3N/2
(39)
L’intérêt de cette transformation est d’exprimer F(E 0 ) uniquement en fonction de quantités sans dimension. La densité de micro-états à l’énergie E 0 vaut :
v(E 0 ) =
dF(E)
dE
E=E 0
=
1
N!
p 3N/2
2 3N
3N
2 − 1
!
E 0
´ 0
3N
2
−1 1
´ 0
=
1
N!
p 3N/2
2 3N
3N
2 − 1
!
E 0
´ 0
3N
2
1
E 0
(40)
d’où :
V = v(E 0 ) dE =
1
N!
p 3N/2
2 3N
3N
2 − 1
!
E 0
´ 0
3N
2 dE
E 0
(41)
Compte tenu de (2), l’entropie vaut :
S
k
= −
Log N! − Log
3N
2
− 1
!
+
3N
2
Log
p
4
+
3N
2
Log
E 0
´ 0
+ Log
dE
´ 0
(42)
Nous savons, d’après la discussion de la section 2.1, que E ´ 0 . De plus, comme N
est très grand (de l’ordre de 10 23 par exemple)
3N
2
− 1 ≈
3N
2
. D’autre part dE E 0 si
bien que Log dE/E 0 est négligeable comparé aux autres termes. Nous aboutissons donc
aux propriétés suivantes que nous avons déjà évoquées plus haut :
S = k Log V k Log v(E 0 ) k Log F(E 0 )
(43)