5 • L’ensemble microcanonique
93
avec, en particulier, 0! = 1 et
−
1
2
! =
√
p. Ces expressions permettent d’évaluer les factorielles de nombres entiers ou demi-entiers positifs, ce qui nous intéresse précisément
ici. En utilisant (31–32), l’équation (27) s’écrit :
p
n/2 =
n
2
C n
n
2
− 1
!
(33)
soit :
C n =
p n/2
n
2
!
(34)
d’où :
V =
p n/2
n
2
!
R
n
et S =
2p n/2
n
2
− 1
!
R
n−1
(35)
Vérifions que nous trouvons les résultats connus à 3 dimensions :
3
2
! =
3
2
1
2
−
1
2
! =
3
4
√
p et
1
2
! =
1
2
−
1
2
! =
1
2
√
p
d’où : V =
4
3 pR 3 et S = 4pR 2 .
Revenons à présent au problème initial. Les résultats précédents et l’équation (17)
donnent pour F(E 0 ) (équation 16) :
F(E 0 ) =
V N
h 3N C 3N R
3N
(36)
soit, puisque R =
√
2mE 0 :
F(E 0 ) =
(2pm) 3N/2
3N
2
!
V N
h 3N E
3N/2
0
(37)
Nous venons d’évaluer le nombre de micro-états classiques correspondant à N particules
indépendantes dont l’énergie est inférieure à E 0 . En mécanique classique, les particules
sont discernables car si nous connaissons leurs positions et impulsions initiales, nous
pouvons prédire la valeur de ces quantités à tout instant ultérieur. La réalité est néanmoins toute autre. En effet, la mécanique quantique, qui permet à l’heure actuelle la
meilleure description du monde microscopique, dit qu’il n’est pas possible de mesurer
simultanément la position et l’impulsion d’une particule. Par conséquent, toutes les particules du gaz (qui sont des bosons ou des fermions) sont indiscernables. Le résultat que
nous venons de trouver ne tient pas compte de cette propriété et si nous l’utilisions tel
quel, il conduirait parfois à des résultats erronés (voir section 5.5). Nous allons dès maintenant corriger cette erreur. De la même manière que nous avons introduit la constante
h, pour évaluer le nombre de micro-états dans l’espace de phase classique et pour tenir
compte de l’impossibilité de mesurer simultanément l’impulsion et la coordonnée d’une
particule, nous allons prendre en compte l’indiscernabilité des particules à l’aide du raisonnement suivant : pour N particules il y a N! permutations possibles correspondant
à N! configurations qui sont toutes identiques lorsque les particules sont indiscernables.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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avec, en particulier, 0! = 1 et
−
1
2
! =
√
p. Ces expressions permettent d’évaluer les factorielles de nombres entiers ou demi-entiers positifs, ce qui nous intéresse précisément
ici. En utilisant (31–32), l’équation (27) s’écrit :
p
n/2 =
n
2
C n
n
2
− 1
!
(33)
soit :
C n =
p n/2
n
2
!
(34)
d’où :
V =
p n/2
n
2
!
R
n
et S =
2p n/2
n
2
− 1
!
R
n−1
(35)
Vérifions que nous trouvons les résultats connus à 3 dimensions :
3
2
! =
3
2
1
2
−
1
2
! =
3
4
√
p et
1
2
! =
1
2
−
1
2
! =
1
2
√
p
d’où : V =
4
3 pR 3 et S = 4pR 2 .
Revenons à présent au problème initial. Les résultats précédents et l’équation (17)
donnent pour F(E 0 ) (équation 16) :
F(E 0 ) =
V N
h 3N C 3N R
3N
(36)
soit, puisque R =
√
2mE 0 :
F(E 0 ) =
(2pm) 3N/2
3N
2
!
V N
h 3N E
3N/2
0
(37)
Nous venons d’évaluer le nombre de micro-états classiques correspondant à N particules
indépendantes dont l’énergie est inférieure à E 0 . En mécanique classique, les particules
sont discernables car si nous connaissons leurs positions et impulsions initiales, nous
pouvons prédire la valeur de ces quantités à tout instant ultérieur. La réalité est néanmoins toute autre. En effet, la mécanique quantique, qui permet à l’heure actuelle la
meilleure description du monde microscopique, dit qu’il n’est pas possible de mesurer
simultanément la position et l’impulsion d’une particule. Par conséquent, toutes les particules du gaz (qui sont des bosons ou des fermions) sont indiscernables. Le résultat que
nous venons de trouver ne tient pas compte de cette propriété et si nous l’utilisions tel
quel, il conduirait parfois à des résultats erronés (voir section 5.5). Nous allons dès maintenant corriger cette erreur. De la même manière que nous avons introduit la constante
h, pour évaluer le nombre de micro-états dans l’espace de phase classique et pour tenir
compte de l’impossibilité de mesurer simultanément l’impulsion et la coordonnée d’une
particule, nous allons prendre en compte l’indiscernabilité des particules à l’aide du raisonnement suivant : pour N particules il y a N! permutations possibles correspondant
à N! configurations qui sont toutes identiques lorsque les particules sont indiscernables.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.