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Physique statistique
Si l’équation de la sphère s’écrit :
n
i=1
x
2
i = R
2
son volume est V =
. . .
n
i=1 x 2
i R 2
dr
(23)
Il est proportionnel à R n , soit :
V = C n R
n
(si n = 3, C n =
4
3 p)
(24)
L’élément de volume dV, correspondant au volume compris entre les sphères de rayon
R et R + dR, vaut :
dV = S(R)dR = nC n R
n−1 dR
(25)
où S(R) est la surface de la sphère (si n = 3, S = 4pR 2 ). Pour évaluer C n nous allons
utiliser une astuce basée sur la formule :
+∞
−∞
exp(−x
2 )dx =
√
p
(26)
qui est la généralisation, à n dimensions, de celle utilisée dans l’annexe A3.3 pour évaluer
l’intégrale (26). Le produit de n intégrales de ce type peut s’écrire comme :
n
i=1
+∞
−∞
exp(−x
2
i ) dx i
=
x 1 =+∞
x 1 =−∞
. . .
xn=+∞
xn=−∞
exp(−
n
i=1
x
2
i )
n
i=1
dx i = p
n/2
(27)
Cette intégrale est exprimée en coordonnées cartésiennes. En coordonnées sphériques,
on a :
n
i=1
x
2
i = R
2
et dr =
n
i=1
dx i = dV
(28)
(à trois dimensions dr = dx dy dz et dV = 4pR 2 dR). L’intégrale à n dimensions se ramène
alors à une intégrale à une dimension sur la variable dR :
p
n/2 =
∞
0
exp(−R
2 )nC n R
n−1 dR
(29)
effectuons le changement de variable :
y = R
2
soit dy = 2R dR
(30)
il vient :
p
n/2 =
n
2
C n
∞
0
y
n/2−1 exp(−y)dy
(31)
Dans l’annexe A3.2 nous montrons que cette intégrale est la généralisation de la notion
de factorielle au cas d’une variable a non entière :
∞
0
y
a exp(−y)dy = G(a + 1) = (a)!
(32)