5 • L’ensemble microcanonique
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leur énergie totale est comprise entre E 0 et E 0 + dE. Les éléments de volume différentiels d 3N q et d 3N p sont associés aux coordonnées et aux impulsions, respectivement. En
coordonnées cartésiennes on a :
d
3N q d
3N p =
N
i=1
dq ix dq iy dq iz
N
i=1
dp ix dp iy dp iz
(15)
Pour obtenir V, nous allons d’abord évaluer F(E 0 ), le nombre de micro-états dont l’énergie est inférieure à E 0 . Cette quantité est obtenue par l’intégration suivante :
F(E 0 ) =
1
h 3N
. . .
V,E d
3N q d
3N p =
1
h 3N
V
. . .
d
3N q
E . . .
d
3N p (16)
L’intégration sur le volume est immédiate :
V
. . .
d
3N q =
N
i=1
V
d
3 q i = V
N
(17)
puisque l’intégrale 3N-uple portant sur les coordonnées peut s’écrire comme le produit
de N intégrales triples portant sur les coordonnées de chaque particule :
V
d
3 q i =
V
dq ix dq iy dq iz = V
(18)
Il nous reste à évaluer l’intégrale 3N-uple portant sur les impulsions :
. . .
E d
3N p
(19)
le volume d’intégration correspond à la condition :
N
i=1
p 2
i
2m
E 0
(20)
Or :
N
i=1
p 2
i
2m
= E 0
(21)
représente l’équation d’une sphère de rayon R =
√
2mE 0 dans l’espace à 3N dimensions
où les impulsions jouent le rôle des coordonnées. Notre problème se ramène donc à
calculer le volume V d’une sphère de rayon R dans un espace à 3N dimensions. Dans
l’espace ordinaire à 3 dimensions, nous connaissons le résultat : c’est
4
3 pR 3 . Pour évaluer
V, simplifions nos notations et supposons que l’espace de dimension n = 3N soit repéré
par un système de coordonnées cartésiennes (x 1 , x 2 ,. . . ,x n ) dont l’origine coïncide avec
le centre de la sphère de rayon R. Un point de cet espace est repéré par le vecteur r de
composantes (x 1 , x 2 ,. . . , x n ). L’élément de volume élémentaire dr vaut :
dr =
n
i=1
dx i
(22)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.