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Physique statistique
5.3 RELATION AVEC LA THÉORIE DE L’INFORMATION
On peut aussi obtenir l’ensemble microcanonique à partir du principe d’information minimum. Nous en avons déjà fait, sans le savoir, la démonstration dans la section 3.3.2.
Reprenons brièvement ce point. Appelons V le nombre de micro-états accessibles à un
système dont l’énergie est comprise entre E 0 et E 0 + dE. Soit P i la probabilité d’obtenir un système de l’ensemble microcanonique dans le micro-état i. L’information est
minimum lorsque l’entropie d’information :
S = −
V
i=1
P i Log P i
(11)
est maximum, avec la condition de normalisation :
V
i=1 P i = 1 Ce problème de recherche de maximum avec contrainte est résolu exactement de la même manière que
dans la section 3.3.2, en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Nous n’en
ferons pas à nouveau la démonstration mais nous conseillons au lecteur de le faire à titre
d’exercice. On trouve :
P i =
1
V
(12)
c’est à dire équiprobabilité des micro-états. Le principe d’information minimum est donc
équivalent au premier postulat. Nous allons maintenant appliquer l’ensemble microcanonique à quelques exemples simples.
5.4 LE GAZ PARFAIT CLASSIQUE
Considérons N particules sans interaction contenues dans un volume V. Si la température n’est pas trop proche du zéro absolu, ce gaz a un comportement classique et on
peut utiliser la physique statistique classique pour décrire ses propriétés. L’espace de
phase associé a 6N dimensions. L’énergie interne du gaz est exclusivement sous forme
cinétique car, par hypothèse, il n’y a pas d’interaction entre les particules. Elle vaut :
E =
N
i=1
p 2
i
2m
(13)
où m est la masse des particules du gaz et p i l’impulsion de la particule i. Nous supposerons que le gaz est monoatomique et que les particules ont un spin nul. Le nombre V de
micro-états accessibles au système, dont l’énergie est comprise entre E 0 et E 0 + dE, est
égal au volume V de l’espace de phase auquel il peut avoir accès, divisé par le volume
de la cellule élémentaire qui vaut h 3N (équation 20, chapitre 2) :
V =
1
h 3N
. . .
V
d
3N q d
3N p
(14)
L’intégrale est de dimensions 6N. Parmi celles-ci, 3N dimensions se rapportent aux coordonnées q i et 3N aux impulsions p i . Les particules sont confinées dans le volume V et
Physique statistique
5.3 RELATION AVEC LA THÉORIE DE L’INFORMATION
On peut aussi obtenir l’ensemble microcanonique à partir du principe d’information minimum. Nous en avons déjà fait, sans le savoir, la démonstration dans la section 3.3.2.
Reprenons brièvement ce point. Appelons V le nombre de micro-états accessibles à un
système dont l’énergie est comprise entre E 0 et E 0 + dE. Soit P i la probabilité d’obtenir un système de l’ensemble microcanonique dans le micro-état i. L’information est
minimum lorsque l’entropie d’information :
S = −
V
i=1
P i Log P i
(11)
est maximum, avec la condition de normalisation :
V
i=1 P i = 1 Ce problème de recherche de maximum avec contrainte est résolu exactement de la même manière que
dans la section 3.3.2, en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Nous n’en
ferons pas à nouveau la démonstration mais nous conseillons au lecteur de le faire à titre
d’exercice. On trouve :
P i =
1
V
(12)
c’est à dire équiprobabilité des micro-états. Le principe d’information minimum est donc
équivalent au premier postulat. Nous allons maintenant appliquer l’ensemble microcanonique à quelques exemples simples.
5.4 LE GAZ PARFAIT CLASSIQUE
Considérons N particules sans interaction contenues dans un volume V. Si la température n’est pas trop proche du zéro absolu, ce gaz a un comportement classique et on
peut utiliser la physique statistique classique pour décrire ses propriétés. L’espace de
phase associé a 6N dimensions. L’énergie interne du gaz est exclusivement sous forme
cinétique car, par hypothèse, il n’y a pas d’interaction entre les particules. Elle vaut :
E =
N
i=1
p 2
i
2m
(13)
où m est la masse des particules du gaz et p i l’impulsion de la particule i. Nous supposerons que le gaz est monoatomique et que les particules ont un spin nul. Le nombre V de
micro-états accessibles au système, dont l’énergie est comprise entre E 0 et E 0 + dE, est
égal au volume V de l’espace de phase auquel il peut avoir accès, divisé par le volume
de la cellule élémentaire qui vaut h 3N (équation 20, chapitre 2) :
V =
1
h 3N
. . .
V
d
3N q d
3N p
(14)
L’intégrale est de dimensions 6N. Parmi celles-ci, 3N dimensions se rapportent aux coordonnées q i et 3N aux impulsions p i . Les particules sont confinées dans le volume V et