5 • L’ensemble microcanonique
89
ω E
( )
E
E
( )
E
( )
Ω dE
dE
E+
Energie
E
f
Φ
Figure 5.1
L’expression ci-dessus contient la quantité dE qui est fort mal connue. Néanmoins, dans
la mesure où dE E, ceci n’a que peu d’importance et S est pratiquement indépendante
du choix de dE. En effet, si f est le nombre de degrés de liberté du système, l’énergie
moyenne par degré de liberté, ´, est définie par :
´ =
E
f
(8)
On peut écrire l’équation (7) comme :
S = k
Log [v(E) ´] + Log
dE
´
(9)
Tout comme la quantité V(E), v(E)´ ∝ E f (équation 10, chapitre 2). Par conséquent, le
premier terme est de l’ordre de f alors que le second, en supposant que dE soit égal à E,
n’est tout au plus que de l’ordre de Log f . Si f ≈ 10 24 , on voit que le terme Log v(E)
est bien supérieur au second qui est tout au plus égal à Log f ≈ 55.
Remarques.
• L’équation (10) du chapitre 2, que nous avons utilisée ci-dessus, doit être prise comme
un ordre de grandeur très grossier des quantités F(E), V(E) ou v(E). Elle signifie seulement que ces grandeurs augmentent très fortement avec le nombre de degrés de liberté
du système et qu’elles deviennent extrêmement grandes. En aucun cas il ne faut l’utiliser
pour en tirer des conclusions quantitatives. Par exemple, nous verrons plus loin que pour
un gaz parfait classique constitué de N particules, on a : F(E) ∝ E
3N/2 = E
f /2 (équation
38).
• Pour les systèmes macroscopiques dit normaux (nous en donnerons une définition plus
précise dans la section 5.6) on peut même écrire que l’entropie est pratiquement donnée
par l’expression :
S = k Log F(E)
(10)
où F(E) est le nombre de micro-états dont l’énergie est inférieure ou égale à E. Nous
verrons, dans le cas d’un gaz parfait, que cette approximation est excellente.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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ω E
( )
E
E
( )
E
( )
Ω dE
dE
E+
Energie
E
f
Φ
Figure 5.1
L’expression ci-dessus contient la quantité dE qui est fort mal connue. Néanmoins, dans
la mesure où dE E, ceci n’a que peu d’importance et S est pratiquement indépendante
du choix de dE. En effet, si f est le nombre de degrés de liberté du système, l’énergie
moyenne par degré de liberté, ´, est définie par :
´ =
E
f
(8)
On peut écrire l’équation (7) comme :
S = k
Log [v(E) ´] + Log
dE
´
(9)
Tout comme la quantité V(E), v(E)´ ∝ E f (équation 10, chapitre 2). Par conséquent, le
premier terme est de l’ordre de f alors que le second, en supposant que dE soit égal à E,
n’est tout au plus que de l’ordre de Log f . Si f ≈ 10 24 , on voit que le terme Log v(E)
est bien supérieur au second qui est tout au plus égal à Log f ≈ 55.
Remarques.
• L’équation (10) du chapitre 2, que nous avons utilisée ci-dessus, doit être prise comme
un ordre de grandeur très grossier des quantités F(E), V(E) ou v(E). Elle signifie seulement que ces grandeurs augmentent très fortement avec le nombre de degrés de liberté
du système et qu’elles deviennent extrêmement grandes. En aucun cas il ne faut l’utiliser
pour en tirer des conclusions quantitatives. Par exemple, nous verrons plus loin que pour
un gaz parfait classique constitué de N particules, on a : F(E) ∝ E
3N/2 = E
f /2 (équation
38).
• Pour les systèmes macroscopiques dit normaux (nous en donnerons une définition plus
précise dans la section 5.6) on peut même écrire que l’entropie est pratiquement donnée
par l’expression :
S = k Log F(E)
(10)
où F(E) est le nombre de micro-états dont l’énergie est inférieure ou égale à E. Nous
verrons, dans le cas d’un gaz parfait, que cette approximation est excellente.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.