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Physique statistique
ce qui donne :
T =
2E
3Nk
(51)
L’énergie interne peut donc s’écrire :
E =
3
2
NkT
(52)
L’énergie interne est donc une grandeur extensive (elle est proportionnelle à N). Pour
N fixé, nous voyons qu’elle ne dépend que de la température : c’est la loi de Joule que
nous avons vue en thermodynamique (cf. exercice 9, chapitre 1). En particulier, pour une
mole de gaz :
E =
3
2
RT
(53)
car N = N et N k = R, la constante des gaz parfaits. La capacité calorifique à volume
constant de ce gaz monoatomique vaut :
C V =
∂E
∂T
V,N
=
3
2
Nk
(54)
Pour une mole, nous retrouvons le résultat connu :
C V =
3
2
R
(55)
Nous pouvons également calculer la pression du gaz :
P = −
∂E
∂V
S,N
=
2
3
E
V
=
NkT
V
(56)
ce qui nous permet d’obtenir l’équation d’état d’un gaz parfait :
PV = NkT
(57)
ou, pour une mole :
PV = RT
(58)
L’énergie par particule, ´, est égale à :
´ =
E
N
=
3
2
kT
(59)
ce qui permet d’écrire :
S = Nk Log V´
3/2 + Ns 0 + a
(60)
Remarque. Il est important de noter que pour calculer P (équation 56), il faut utiliser
l’équation (49), où E est exprimée en fonction des trois variables indépendantes S, V et
N. Si l’on partait de l’équation (52), il faudrait exprimer T en fonction de S, V et N, car T
est une variable dépendante. On obtiendrait bien sûr le même résultat pour P.