3.7 D´ eg´ en´ erescences des ´
equations de Navier-Stokes
87
Dans cette situation on recherche l’´ equation repr´ esentative de l’´ ecoulement de
couche limite pr` es d’une paroi solide. Les dimensions caract´ eristiques de la
couche limite sont tr` es diff´ erentes dans les directions x et z, leur rapport est de
l’ordre de 1/
√
Re pour la couche limite laminaire. En d´ eveloppant ψ(x, z) en
puissance de λ et en identifiant on trouve
�
∂ ψ (0)
∂ z
∂ 2 ψ (0)
∂ x∂ z
−
∂ ψ (0)
∂ x
∂ 2 ψ (0)
∂ z 2
�
=
∂ 3 ψ (0)
∂ z 3 + f (x)
o` u f (x) repr´ esente le gradient de pression ext´ erieur. Cette ´
equation est celle de la
couche limite ou ´
equation de Prandtl.
3.7.3 M´ ethodes de perturbations
La r´ esolution de l’´ equation de Navier-Stokes
∂ ψ
∂ z
∂
∂ x
∇
2
ψ −
∂ ψ
∂ x
∂
∂ z
∇
2
ψ =
1
Re
∇
4
ψ
peut ˆ
etre r´ ealis´ ee `
a partir de tels d´ eveloppements en s´ erie de fonctions :
ψ(x, z) =
∞
∑
0
ε
n
ψ
(n)
(x, z)
L’introduction d’un tel d´ eveloppement fournit un syst` eme d’´ equations que l’on peut
r´ esoudre en s´ equence.
Par exemple prenons une s´ erie limit´ ee o` u ε = Re :
ψ(x, z) = ψ
(0)
(x, z) + Re ψ
(1)
(x, z) + ...
En identifiant les termes en Re n , on trouve :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ 4 ψ (0) = 0
∇ 4 ψ (1) =
�
∂ ψ (0)
∂ z
∂
∂ x
−
∂ ψ (0)
∂ x
∂
∂ z
�
∇
2
ψ
(0)
∇ 4 ψ (2) = f
�
ψ (0) , ψ (1)
�
............ = ............
∇ 4 ψ (n) = f
�
ψ (n−1) , ψ (n−2) , ...
�
La d´ emonstration de ces s´ eries de fonctions est d´ elicate et certaines ne convergent
pas. Elles permettent toutefois une analyse fine de probl` emes de discontinuit´ e ou
de bifurcations de solutions. Une litt´ erature sp´ ecialis´ ee datant de la moiti´ e du si` ecle
dernier existe sur ce sujet.