Chapitre 4
Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes
Seules un certain nombre de solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes,
quelques dizaines au plus, sont d’un int´ erˆ et pratique. Sinon il est possible de
cr´ eer des solutions synth´ etiques en introduisant des expressions analytiques dans
l’´ equation de Navier-Stokes pour en calculer un second membre adapt´ e. Celles-ci
servent g´ en´ eralement `
a r´ ealiser des comparaisons avec des simulations num´ eriques.
Il est essentiel de ne pas confondre et de consid´ erer les solutions d’´ equations
d´ eg´ en´ er´ ees comme des ´
equations de Navier-Stokes. C’est ainsi que les ´
equations
de de la couche limite Prandtl donnent la solution de Blasius qui ne fournit pas le
comportement des ´
equations compl` etes pr` es du bord d’attaque. Ce sont des approximations des ´
equations de Navier-Stokes. Par contre la solution de Poiseuille d’un
´
ecoulement laminaire dans un canal `
a section constante est une solution exacte de
l’´ equation de Stokes, valable tant que l’´ ecoulement reste laminaire.
Comme on le voit il est important d’analyser chaque probl` eme en pr´ ecisant
toutes les approximations et hypoth` eses attach´ ees au syst` eme d’´ equations utilis´ e.
4.1 Solutions exactes, solutions semblables
En appliquant les notions d’analyse dimensionnelle `
a la d´ etermination de la
forme locale des solutions (par exemple V(x, y, z,t)) on peut parfois r´ eduire au
moyen du groupe d’invariance G le nombre de variables intervenant dans la fonction cherch´ ee ; d’un point de vue analytique cela est tr` es int´ eressant, surtout dans le
cas o` u il ne reste plus qu’une variable η, dite variable de similitude et qui est une
combinaison de type monˆ ome des variables initiales (x, y, z,t) dans ce dernier cas
en effet, les ´
equations aux d´ eriv´ ees partielles se r´ eduisent `
a un syst` eme diff´ erentiel
ordinaire pour lequel on dispose de m´ ethodes analytiques de r´ esolution. On obtient
ainsi ce que l’on nomme des solutions semblables, solutions exactes des ´
equations
de Navier-Stokes [28].
89
J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9_4,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes
Seules un certain nombre de solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes,
quelques dizaines au plus, sont d’un int´ erˆ et pratique. Sinon il est possible de
cr´ eer des solutions synth´ etiques en introduisant des expressions analytiques dans
l’´ equation de Navier-Stokes pour en calculer un second membre adapt´ e. Celles-ci
servent g´ en´ eralement `
a r´ ealiser des comparaisons avec des simulations num´ eriques.
Il est essentiel de ne pas confondre et de consid´ erer les solutions d’´ equations
d´ eg´ en´ er´ ees comme des ´
equations de Navier-Stokes. C’est ainsi que les ´
equations
de de la couche limite Prandtl donnent la solution de Blasius qui ne fournit pas le
comportement des ´
equations compl` etes pr` es du bord d’attaque. Ce sont des approximations des ´
equations de Navier-Stokes. Par contre la solution de Poiseuille d’un
´
ecoulement laminaire dans un canal `
a section constante est une solution exacte de
l’´ equation de Stokes, valable tant que l’´ ecoulement reste laminaire.
Comme on le voit il est important d’analyser chaque probl` eme en pr´ ecisant
toutes les approximations et hypoth` eses attach´ ees au syst` eme d’´ equations utilis´ e.
4.1 Solutions exactes, solutions semblables
En appliquant les notions d’analyse dimensionnelle `
a la d´ etermination de la
forme locale des solutions (par exemple V(x, y, z,t)) on peut parfois r´ eduire au
moyen du groupe d’invariance G le nombre de variables intervenant dans la fonction cherch´ ee ; d’un point de vue analytique cela est tr` es int´ eressant, surtout dans le
cas o` u il ne reste plus qu’une variable η, dite variable de similitude et qui est une
combinaison de type monˆ ome des variables initiales (x, y, z,t) dans ce dernier cas
en effet, les ´
equations aux d´ eriv´ ees partielles se r´ eduisent `
a un syst` eme diff´ erentiel
ordinaire pour lequel on dispose de m´ ethodes analytiques de r´ esolution. On obtient
ainsi ce que l’on nomme des solutions semblables, solutions exactes des ´
equations
de Navier-Stokes [28].
89
J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9_4,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013