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4 Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes
4.1.1 Premier probl` eme de Rayleigh
Pour t < 0, un fluide incompressible est au repos dans la r´ egion en contact avec la
plaque plane y = 0. A l’instant t = 0 la plaque est mise impulsivement dans un ´
etat
de mouvement uniforme, de sorte que chacun de ses points a pour vecteur vitesse
V(x, 0) = V 0 (t). On suppose que V reste parall` ele `
a Ox.
Le fluide est non pesant `
a masse volumique constante ρ. La pression est constante
dans tout l’´ ecoulement et les ´
equations s’´ ecrivent :
∂ u
∂t
− ν
∂ 2 u
∂ y 2 = 0
u(y, 0) = 0
u(y,t) = V 0
u(∞,t) = 0
La relation cherch´ ee est de la forme F(u, y,t,V 0 , ν) = 0. Il manque une distance
pour rendre adimensionnel le syst` eme, elle peut ˆ
etre construite `
a partir du temps t et
de la viscosit´ e ν sous la forme η = y/
√ ν t.
∂ 2 u
∂ y 2 =
∂
∂ y
∂ u
∂ η
1
√
ν t
=
∂ 2 u
∂ η 2
∂ η
∂ y
1
√
ν t
=
∂ 2 u
∂ η 2
1
ν t
∂ u
∂t
=
∂ u
∂ η
∂ η
∂t
= −
∂ u
∂ η
y ν
2 (ν t) 3/2
Soit finalement
−
∂ u
∂ η
y ν
2
√ ν t
=
∂ 2 u
∂ η 2
D’autre part en rendant adimensionnel u = u � /V 0 , on a
2 u
��
+ η u
�
= 0
u(0) = 1
u(∞) = 0
dont la solution s’´ ecrit
u = 1 − er f (η) = 1 −
2
√
π
η
0
e
−z 2 dz
Soit
u = er f c(η)