4.1 Solutions exactes, solutions semblables
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4.1.2 Tourbillon self-similaire
On consid` ere un ´
ecoulement instationnaire en rotation autour de l’axe Oz. Un tourbillon de circulation Γ est impos´ e (par exemple par la rotation d’un fil) initialement.
⎧
⎨
⎩
u = 0
v = v(r, θ , z,t)
w = 0
L’´ equation de continuit´ e donne ∂ v/∂ θ = 0 et v = v(r, z,t). L’´ equation de quantit´ e
de mouvement s’´ ecrit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−
v 2
r
= −
1
ρ
∂ p
∂ r
0
= −
1
ρ
∂ p
∂ z
∂ v
∂t
= −
1
ρ
∂ p
∂ θ
+ ν
� ∂
∂ r
� 1
r
∂
∂ r
(r v)
�
+
∂ 2 v
∂ z 2
�
De la seconde ´
equation on d´ eduit que p ne d´ epend pas de z et comme le probl` eme
est `
a sym´ etrie axiale, elle ne d´ epend pas non plus de θ (on doit retrouver la mˆ eme
pression sur un tour). La derni` ere composante devient :
∂ v
∂t
= ν
� ∂
∂ r
� 1
r
∂
∂ r
(r v)
��
La solution stationnaire est d’abord obtenue :
1
r
∂
∂ r
(r v s ) = C 1
soit
v s (r) =
C 1
2
r +
C 2
r
La vitesse est ainsi la superposition d’un mouvement de rotation solide et d’un mouvement tourbillonnaire bidimensionnel. La vitesse devant ˆ
etre nulle pour r → ∞, seul
le second terme subsiste. La solution est :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
v s (r) =
C 2
r
p s (r) = −ρ
C 2
r
et la constante C 2 est donc ´
egale `
a Γ /2π :