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4 Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes
Γ =
� 2π
0
v s (r) r dr = 2 π C 2
soit
v s (r) =
Γ
2 π r
La solution instationnaire correspond au retour au repos du tourbillon initial
(Fig. 4.1) et il est naturel de rechercher cette solution sous la forme :
v(r,t) =
Γ
2 π r
f (r,t)
avec comme condition initiale v(r, 0) = v s (r).
Le syst` eme d’´ equations devient :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Γ
2 π r
∂ f
∂t
= ν
� ∂
∂ r
� 1
r
∂
∂ r
(r v)
��
f (r, 0) = 1
f (r, ∞) = 0
Nous allons rechercher une solution sous la forme f = f (η) avec η = r 2 /4νt. Il
vient
∂ f
∂t
= − f
� r 2
4 ν t 2 ,
∂ f
∂ r
= f
� r
2 ν t
,
∂ 2 f
∂ r 2 = f
��
� r
2 ν t
� 2 + f
� 1
2 ν t
On trouve :
f
��
+ f
�
= 0
dont la solution est :
f (η) = C 1 +C 2 e
−η
Les conditions aux limites permettent de d´ eterminer les constantes : C 1 = 1, C 2 =
−1.
v(r,t) =
Γ
2 π r
�
1 − e
−r 2 /4 ν t
�
4.2 Autres solutions exactes
Outre les solutions semblables obtenues par des consid´ erations d’analyse dimensionnelle, il existe de nombreuses solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes.