4.2 Autres solutions exactes
93
Fig. 4.1 Tourbillon autosimilaire : ´
evolution de la vitesse V θ (r) en fonction du temps qui tend vers
z´ ero par diffusion
Ces solutions sont obtenues `
a partir d’hypoth` eses simplificatrices diverses (mouvement unidimensionnel, ´
ecoulement presque parall` ele...) conduisant `
a des expressions analytiques simples des champs V, p, ρ, T . Toutefois il y en a peu qui satisfont
`
a des situations physiques d’int´ erˆ et physique.
4.2.1 L’´ ecoulement de Poiseuille plan et axi-sym´ etrique
L’´ ecoulement dit de Poiseuille correspond `
a celui g´ en´ er´ e par un gradient de pression sur un fluide inclus entre deux plans parall` eles ou dans un tube de section
constante. L’´ ecoulement est suppos´ e laminaire, incompressible, stationnaire, ´
etabli.
La laminarit´ e dans cette situation conduit `
a consid´ erer que chaque particule fluide
se d´ eplace parall` element aux parois solides; les composantes transversales de la
vitesses sont donc nulles (v = w = 0).
En tenant compte de l’incompressibilit´ e, ∇ · V = 0, l’´ equation sur u devient :
d p
dz
= μ
∂ 2 u
∂ z 2
Les conditions aux limites sur les parois solides sont de type Dirichlet, `
a vitesse
nulle sur z = ±H; elles permettent de d´ eterminer les constantes d’int´ egration. On
impose ici la vitesse de d´ ebit V 0 qui est la vitesse moyenne. Les deux premi` eres
composantes de l’´ equation du mouvement permettent de montrer que la pression est
une constante dans chaque section droite.
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Fig. 4.1 Tourbillon autosimilaire : ´
evolution de la vitesse V θ (r) en fonction du temps qui tend vers
z´ ero par diffusion
Ces solutions sont obtenues `
a partir d’hypoth` eses simplificatrices diverses (mouvement unidimensionnel, ´
ecoulement presque parall` ele...) conduisant `
a des expressions analytiques simples des champs V, p, ρ, T . Toutefois il y en a peu qui satisfont
`
a des situations physiques d’int´ erˆ et physique.
4.2.1 L’´ ecoulement de Poiseuille plan et axi-sym´ etrique
L’´ ecoulement dit de Poiseuille correspond `
a celui g´ en´ er´ e par un gradient de pression sur un fluide inclus entre deux plans parall` eles ou dans un tube de section
constante. L’´ ecoulement est suppos´ e laminaire, incompressible, stationnaire, ´
etabli.
La laminarit´ e dans cette situation conduit `
a consid´ erer que chaque particule fluide
se d´ eplace parall` element aux parois solides; les composantes transversales de la
vitesses sont donc nulles (v = w = 0).
En tenant compte de l’incompressibilit´ e, ∇ · V = 0, l’´ equation sur u devient :
d p
dz
= μ
∂ 2 u
∂ z 2
Les conditions aux limites sur les parois solides sont de type Dirichlet, `
a vitesse
nulle sur z = ±H; elles permettent de d´ eterminer les constantes d’int´ egration. On
impose ici la vitesse de d´ ebit V 0 qui est la vitesse moyenne. Les deux premi` eres
composantes de l’´ equation du mouvement permettent de montrer que la pression est
une constante dans chaque section droite.