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4 Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes
Compte tenu des sym´ etries de la g´ eom´ etrie du syst` eme, le gradient de pression
dans la direction de l’´ ecoulement est une constante d p/dx = −Cte.
La distribution de vitesse solution de l’´ equation de Navier-Stokes et aux conditions aux limites s’´ ecrit :
u(z) =
3
2
V 0
1 −
z 2
H 2
Pour le cas du conduit `
a section circulaire de rayon R, la vitesse axiale devient :
u(r) = 2V 0
1 −
r 2
R 2
La vitesse maximum est ´
egale `
a 1.5 fois la vitesse moyenne pour le cas plan et 2
fois pour le cas du tube.
4.2.2 Ecoulement instationnaire dans un tube
On cherche la solution u(r,t) correspondante `
a l’´ ecoulement instationnaire d’un fluide initialement au repos dans un tube de longueur L et de rayon R. On impose un
gradient de pression constant :
−G = −
p e − p s
L
=
∂ p
∂ x
On pose V = ue x + ve r + we θ . L’´ ecoulement est laminaire ( v = w = 0) et axisym´ etrique ( ∂ p/∂ θ = 0 ). La composante axiale de l’´ equation du mouvement
s’´ ecrit :
∂ u
∂t
= −
G
ρ
+ ν
∂ 2 u
∂ r 2 +
1
r
∂ u
∂ r
Les conditions aux limites expriment l’adh´ erence `
a la paroi (u(R,t) = 0 et la
sym´ etrie sur l’axe (∂ u(0,t)/∂ r = 0). La condition initiale correspond au repos u = 0.
Lorsque t → ∞, la solution stationnaire est
u ∞ =
G
4 μ
R
2 − r
2
La solution instationnaire est recherch´ ee sous la forme :
u(r,t) = u ∞ (r) − v(r,t)
Le syst` eme `
a r´ esoudre s’´ ecrit :