4.2 Autres solutions exactes
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⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
∂ v
∂t
= ν
� ∂
∂ r
� 1
r
∂
∂ r
(r v)
��
v(R,t) = 0
v(r, 0) = u ∞
Une solution particuli` ere de ce syst` eme d’´ equation est :
J 0 (λ n r/R) exp
�
−λ
2
n ν t/R
2
�
o` u J 0 est la fonction de Bessel de premi` ere esp` ece d’ordre z´ ero et λ n est la racine de
J 0 (λ ) = 0.
La solution g´ en´ erale s’´ ecrit :
v(r,t) =
G
4μ
∞
∑
n=1
A n J 0 (λ n r/R) exp
�
−λ
2
n ν t/R
2
�
Les coefficients A n doivent satisfaire la condition :
R
2 − r
2
=
∞
∑
n=1
A n J 0 (λ n r/R)
soit
A n =
2R 2
J 2
1 (λ n )
� 1
0
x (1 − x
2
)J 0 (λ n x) dx =
8 R 2
λ 3
n J 1 (λ n )
avec x = r/R. Soit finalement la solution g´ en´ erale
u(r,t) =
G
4 μ
� R
2 − r
2
�
−
2 G R 2
μ
∞
∑
n=1
J 0 (λ n r/R)
λ 3
n J 1 (λ n )
exp
�
−λ
2
n ν t/R
2
�
4.2.3 Ecoulement instationnaire entre deux plans
Le lecteur v´ erifiera ais´ ement que la solution instationnaire pour un ´
ecoulement plan
s’´ ecrit :
u(z,t) =
k e 2
2 μ
�
1 −
z 2
e 2
�
+
∞
∑
n=0
a n (0)exp
�
−
(2n + 1) 2 π 2 μ
4 ρ e 2
t
�
cos
�
(2n + 1)
π
2
z
e
�
a n (0) = −
k e 2
μ
16 (−1) n
(2n + 1) 3 π 3