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4 Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes
4.2.4 Ecoulement entre deux plans `
a viscosit´ e variable
Afin de rechercher une solution analytique `
a viscosit´ e variable, on propose ici de se
donner une variation simple de celle-ci en fonction d’une coordonn´ ee spatiale.
μ = μ 0 exp
a
2 z 2
e 2
avec a = 2, e = 0.01, μ 0 = 1.85 · 10 −5
La solution de l’´ equation de Navier-Stokes dans les hypoth` eses habituelles s’´ ecrit
:
u(z,t) =
k e 2 e −a 2
2 a 2 μ 0
exp
a
2
1 −
z 2
e 2
− 1
avec k = 0.25
4.2.5 Ecoulement entre deux plans avec dissipation visqueuse
L’objectif est ici de tenir compte du terme de dissipation visqueuse apparaissant
dans l’´ equation de l’Energie lorsque celle-ci est prise en compte. L’´ ecoulement incompressible de Poiseuille entre deux plans se prˆ ete bien `
a cette analyse car le profil
de vitesse est simple mais qu’il permet cependant des variations spatiales importantes de la contrainte locale. Dans ce cas test l’espace entre les deux plans est tr` es
r´ eduit de mani` ere `
a augmenter les effets de dissipation.
L’´ equation de l’´ energie s’´ ecrit sous les hypoth` eses mentionn´ ees et en n´ egligeant
la diffusion axiale sous la forme :
ρ c p u(z)
∂ T
∂ x
= λ
∂ 2 T
∂ z 2 + μ
∂ u
∂ z
2
La solution est recherch´ ee sous la forme T (x, z) = k x + θ (x, z). On trouve :
T (x, z) =
3 μ V 0
ρ c p e 2 x +
9 μ V 2
0
8 λ e 2
2 z
2 −
z 4
e 2
La solution th´ eorique obtenue n’est qu’une approximation dans la mesure o` u
les termes repr´ esentatifs de la diffusion axiale sont n´ egligeables devant ceux de la
diffusion transversale soit :
∂ 2 T
∂ x 2 <<
∂ 2 T
∂ z 2