4.2 Autres solutions exactes
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4.2.6 Ecoulement laminaire dans un conduit `
a section
rectangulaire
On consid` ere ici un ´
ecoulement dans un canal cylindrique de section rectangulaire
S = a b. Le gradient de pression est impos´ e orthogonalement `
a la section droite
du canal. On suppose que les effets de bords qui induisent des recirculations dans
les coins sont faibles devant la vitesse orthogonale impos´ ee. En fait les lignes de
courant seraient des h´ elices pr` es des coins. Dans ces conditions la vitesse s’´ ecrit V =
u(x, z)e y et la pression est p(x, y, z) = p(x, z) − G y o` u G est le gradient de pression
impos´ e. L’´ ecoulement est aussi suppos´ e incompressible, stationnaire, ´
etabli. Dans
ces conditions les ´
equations se r´ eduisent `
a ∇ 2 u = G.
Recherchons la solution du probl` eme plus g´ en´ eral (P) :
P
⎧
⎨
⎩
∇ 2 u = f (x, z)
u(0, z) = u(a, z) = 0
u(x, 0) = u(x, b) = 0
Le probl` eme pr´ eliminaire consiste `
a rechercher f sous la forme :
f (x, z) =
∞
∑
n
u n (x, y)
Il existe alors un r´ eel positif λ tel que :
� ∇ 2 u + λ u = 0
L(u) = 0
Un th´ eor` eme assure que les fonctions propres correspondant `
a deux valeurs propres
distinctes sont orthogonales.
On cherche des solutions de P en s´ eparant les variables; cela est possible si
l’´ equation est lin´ eaire et c’est le cas. Si ce n’´ etait pas le cas on a d’autres moyens...
On cherche la solution du probl` eme sans second membre u(x, z) sous la forme :
u(x, z) = g(x) h(z)
ce qui donne :
g ��
g
+
h ��
h
+ λ = 0
ce sont deux fonctions de variables diff´ erentes donc au plus ´
egales `
a une constante
: λ
g ��
g
= −α
2 ;
h ��
h
= −β
2
avec