98
4 Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes
α
2
+ β
2
= λ
Une solution particuli` ere s’´ ecrit :
u(x, z) = (A 1 cosαx + A 2 sinαx)(B 1 cosβ z + B 2 sinβ z)
Compte tenu des conditions aux limites une solution particuli` ere s’´ ecrit:
u ln (x, z) = sin
lπx
a
sin
nπz
b
l, n entiers.
Le syst` eme n’admet pas de solution non triviale hormis pour des valeurs particuli` eres de λ , valeurs propres de l’op´ erateur lin´ eaire:
λ ln = π
2
l 2
a 2 +
n 2
b 2
Les solutions u ln sont les fonctions propres.
La solution g´ en´ erale s’obtient par superposition des solutions particuli` eres :
u(x, z) =
∞
∑
l=1
∞
∑
n=1
a ln sin
lπx
a
sin
nπz
b
Pour la solution avec second membre on d´ eveloppe celui-ci sur la mˆ eme base :
f (x, z) =
∞
∑
l=1
∞
∑
n=1
b ln sin
lπx
a
sin
nπz
b
les b ln sont les coefficients de Fourier de f (x, z):
b ln =
a
0
b
0 f (x, z) sin
lπx
a sin
nπz
b dx dz
a
0
b
0 sin
lπx
a sin
nπz
b dx dz
soit
b ln =
4
a b
a
0
b
0
f (x, z) sin
lπx
a
sin
nπz
b
dx dz
On a donc en reprenant l’´ equation initiale :
−
∞
∑
l=1
∞
∑
n=1
λ ln a ln sin
lπx
a
sin
nπz
b
=
∞
∑
l=1
∞
∑
n=1
b ln sin
lπx
a
sin
nπz
b
On ne peut pas trouver de solution satisfaisant cette relation quelque soit (x, z).
On peut toutefois trouver les coefficients a ln au sens d’une certaine moyenne en