4.2 Autres solutions exactes
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utilisant les propri´ et´ es d’orthogonalit´ es des fonctions de Fourier. On multiplie des
deux membres de cette relation par sin
iπx
a sin
jπz
b et on int` egre a tout le volume. On
trouve donc :
a i j = −
b i j
λ i j
d’o` u :
u(x, z) =
∞
∑
i=1
∞
∑
j=1
a i j sin
iπx
a
sin
jπz
b
Cas particulier f (x, z) = G = 1
Fig. 4.2 Isovaleurs de la vitesse normale au plan (x, z); la vitesse est maximale au centre du domaine et satisfait les conditions d’adh´ erence aux bords
b ln =
4
a b
sin
lπx
a
sin
nπz
b
dx dz
b ln =
4
a b
sin
lπx
a
dx
sin
nπz
b
dz =
4
a b
2 a
l π
2 b
n π
(l et n impairs)
soit
a i j =
16
π 4 (2 i + 1) (2 j + 1)
(2 i+1) 2
a 2
+
(2 j+1) 2
b 2
et enfin
u(x, z) =
∞
∑
i=0
∞
∑
j=0
16
π 4 (2 i + 1) (2 j + 1)
(2 i+1) 2
a 2
+
(2 j+1) 2
b 2
sin
iπx
a
sin
jπz
b
La solution est repr´ esent´ ee sur la figure 4.2 sous la forme d’isovaleurs de la vitesse
axiale avec a = 2 b.