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4 Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes
4.2.7 L’´ ecoulement de Couette cylindrique
On consid` ere l’´ ecoulement incompressible d’un fluide visqueux newtonien entre
deux cylindres coaxiaux horizontaux en rotation de longueur infinie et de rayon
int´ erieur R 1 et de rayon ext´ erieur R 2 . Le cylindre int´ erieur est entraˆ ın´ e avec une
vitesse de rotation de Ω 1 et le cylindre ext´ erieur `
a Ω 2 . Le fluide a une viscosit´ e
´
egale `
a μ et une masse volumique ´
egale `
a ρ.
4.2.7.1 Physique de l’´ ecoulement
La rotation diff´ erentielle de deux cylindres coaxiaux met en mouvement le fluide
visqueux par entraˆ ınement. L’´ ecoulement est laminaire si le nombre de Reynolds
est faible; dans ce cas seule la composante polaire de la vitesse V θ est non nulle et
le r´ egime devient stationnaire aux temps longs. Pour des nombre de Reynolds plus
´
elev´ es, l’´ ecoulement reste stationnaire mais une structuration convective s’installe
sous la forme de rouleaux (Rayleigh-Taylor) suivant l’axe z dont le rapport de forme
est proche de la distance r 2 − r 1 . Lorsque le nombre de Reynolds augmente encore,
des fluctuations instationnaires dans la direction azimutale sont transport´ ees dans le
courant principal. Pour des nombres de Reynolds tr` es ´
elev´ es, l’´ ecoulement devient
turbulent, voir la monographie de P. Chossat et G. Iooss[11] pour plus de d´ etails.
Les solutions calcul´ ees dans le cadre de cet exercice sont associ´ ees `
a des tr` es
faibles nombres de Reynolds.
4.2.7.2 Hypoth` eses et approximations
On consid` ere que l’´ ecoulement est stationnaire et que les composantes radiale et
axiale de la vitesse sont nulles. De plus l’´ ecoulement est plan, ind´ ependant de la coordonn´ ee z. L’´ equation de continuit´ e conduit ainsi `
a une ind´ ependance de la vitesse
tangentielle avec θ . Comme V θ ne d´ epend que de r et que la seconde composante
de Navier-Stokes se r´ eduit `
a ∂ p/∂ r = 0, et que la troisi` eme donne ∂ p/∂ z = 0, la
pression ne peut admettre qu’une solution affine sur r. Lorsqu’un tour est effectu´ e
on doit bien sˆ ur retrouver la mˆ eme pression donc la celle-ci ne d´ epend pas de θ et
p = p(r).
L’´ equation de continuit´ e devient:
∂V θ
∂ θ
= 0
Quant aux ´
equations de Navier-Stokes elles s’´ ecrivent :
−ρ
V 2
θ
r
= −
d p
dr
4 Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes
4.2.7 L’´ ecoulement de Couette cylindrique
On consid` ere l’´ ecoulement incompressible d’un fluide visqueux newtonien entre
deux cylindres coaxiaux horizontaux en rotation de longueur infinie et de rayon
int´ erieur R 1 et de rayon ext´ erieur R 2 . Le cylindre int´ erieur est entraˆ ın´ e avec une
vitesse de rotation de Ω 1 et le cylindre ext´ erieur `
a Ω 2 . Le fluide a une viscosit´ e
´
egale `
a μ et une masse volumique ´
egale `
a ρ.
4.2.7.1 Physique de l’´ ecoulement
La rotation diff´ erentielle de deux cylindres coaxiaux met en mouvement le fluide
visqueux par entraˆ ınement. L’´ ecoulement est laminaire si le nombre de Reynolds
est faible; dans ce cas seule la composante polaire de la vitesse V θ est non nulle et
le r´ egime devient stationnaire aux temps longs. Pour des nombre de Reynolds plus
´
elev´ es, l’´ ecoulement reste stationnaire mais une structuration convective s’installe
sous la forme de rouleaux (Rayleigh-Taylor) suivant l’axe z dont le rapport de forme
est proche de la distance r 2 − r 1 . Lorsque le nombre de Reynolds augmente encore,
des fluctuations instationnaires dans la direction azimutale sont transport´ ees dans le
courant principal. Pour des nombres de Reynolds tr` es ´
elev´ es, l’´ ecoulement devient
turbulent, voir la monographie de P. Chossat et G. Iooss[11] pour plus de d´ etails.
Les solutions calcul´ ees dans le cadre de cet exercice sont associ´ ees `
a des tr` es
faibles nombres de Reynolds.
4.2.7.2 Hypoth` eses et approximations
On consid` ere que l’´ ecoulement est stationnaire et que les composantes radiale et
axiale de la vitesse sont nulles. De plus l’´ ecoulement est plan, ind´ ependant de la coordonn´ ee z. L’´ equation de continuit´ e conduit ainsi `
a une ind´ ependance de la vitesse
tangentielle avec θ . Comme V θ ne d´ epend que de r et que la seconde composante
de Navier-Stokes se r´ eduit `
a ∂ p/∂ r = 0, et que la troisi` eme donne ∂ p/∂ z = 0, la
pression ne peut admettre qu’une solution affine sur r. Lorsqu’un tour est effectu´ e
on doit bien sˆ ur retrouver la mˆ eme pression donc la celle-ci ne d´ epend pas de θ et
p = p(r).
L’´ equation de continuit´ e devient:
∂V θ
∂ θ
= 0
Quant aux ´
equations de Navier-Stokes elles s’´ ecrivent :
−ρ
V 2
θ
r
= −
d p
dr