4.2 Autres solutions exactes
101
0 = μ
d
dr
1
r
d
dr
(rV θ )
4.2.7.3 Solution stationnaire
La r´ esolution des ´
equations de Navier-Stokes dans le cadre des hypoth` eses retenues
fournit la solution, en particulier la composante tangentielle de la vitesse et la pression :
V θ (r) =
a
2
r +
b
r
p(r) = ρ
a 2
8
r
2
+ a b Ln(r) −
b 2
2 r 2
avec
a = 2
Ω 2 r 2
2 − Ω 1 r 2
1
r 2
2 − r 2
1
b = (Ω 1 − Ω 2 )
r 2
1 r 2
2
r 2
2 − r 2
1
o` u Ω 1 et Ω 2 sont les vitesses de rotation des cylindres interne et externe.
si la vitesse ext´ erieure est nulle
V θ (r) = V 1
r 1 r 2
r 2
1 − r 2
2
r
r 2
−
r 2
r
4.2.7.4 Contrainte `
a la paroi
Le tenseur des taux de d´ eformations D se r´ eduit `
a la seule composante tangentielle :
d rθ = d θ r =
1
2
r
∂
∂ r
V θ
r
+
1
r
∂V r
∂ θ
D’o` u la contrainte tangentielle :
τ rθ = μ r
d
dr
V θ
r
en tenant compte de l’expression de V θ on a :
τ rθ = −μ
2 b
r 2
Cet ´
ecoulement facile `
a mettre en oeuvre exp´ erimentalement permet de caract´ eriser la rh´ eologie d’un liquide en imposant la vitesse de rotation et en mesurant