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4 Solutions exactes des ´
equations de Navier-Stokes
la force tangentielle ou bien en pilotant le rh´ eom` etre en contrainte et en mesurant la
vitesse de rotation.
4.2.8 Mise en rotation d’un fluide visqueux dans un cylindre
Ici on recherche la solution correspondant `
a la mise en rotation d’un fluide visqueux
initialement au repos par un cylindre de rayon r e = R dot´ e d’une vitesse circonf´ erentielle ´
egale `
a V 0 = Ω R avec Ω = 1 et R = 0.1. Le rayon int´ erieur r i est
nul.
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−ρ
V 2
θ
r
= −
∂ p
∂ r
∂V θ
∂t
= ν
∂
∂ r
� 1
r
∂
∂ r
(r V θ )
�
r = R → V θ = V 0
r = 0 → V θ = 0
t < 0 → V θ = 0
La r´ esolution est obtenue en s´ eparant partie stationnaire et instationnaire :
V θ (r,t) = U θ (r) + v θ (r,t)
Solution stationnaire
U θ (r) = a r +
b
r
avec les conditions aux limites on trouve :
U θ (r) = V 0
r
R
On cherche une solution par s´ eparation des variables :
v θ (r,t) = f (r) g(θ )
on trouve
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
g �
g
= −ν α
2
d
dr
� 1
r
d
dr
(r f )
�
+ α
2 f = 0
L’´ equation diff´ erentielle sur f (r) est une ´
equation de Bessel d’ordre un, on trouve
: