4.2 Autres solutions exactes
103
g(t) = A e
−ν α 2 t
f (r) = B J 1 (α r/R) +CY 1 (α r/R)
Soit la solution g´ en´ erale obtenue par superposition :
v θ (r,t) =
∞
∑
n=0
a n J 1
α n
r
R
+ b n Y 1
α n
r
R
e
−ν
α 2
n
R 2 t
avec les conditions aux limites :
r = 0 v θ = 0 soit b n = 0
r = R v θ = 0 soit J 1 (α n ) = 0
Les α n sont les racines r´ eelles de cette derni` eres ´
equation.
Il reste `
a satisfaire la condition initiale :
−
V 0 r
R
=
∞
∑
n=1
a n J 1
α n
r
R
e
−ν
α 2
n
R 2 t
pour t = 0
Cette relation ne peut pas ˆ
etre satisfaite localement mais seulement au sens d’une
moyenne. Pour cela on multiplie les deux membres de cette relation par r J 1 (α m r)
et on int` egre sur [0, R].
On a `
a calculer les deux int´ egrales :
R
0
r
2 J
2
1 (α m r/R) dr = −
R 3
α 2
m
(α m J 0 (α m ) − 2 J 1 (α m ))
R
0
r J 1 (α m r/R) J 1 (α n r/R)dr = −
R 2
2 α m
α m J
2
0 (α m ) − 2 J 0 (α m )J 1 (α m ) + α m J
2
1 (α m )
δ nm
en utilisant les propri´ et´ es d’orthogonalit´ e des fonctions de Bessel. Les relations de
r´ ecurrence permettraient quant `
a elles de simplifier cette ´
ecrite en introduisant la
fonction J 2 (α m ). Les coefficients a n s’´ ecrivent alors :
a n =
2V 0
α n
(α n J 0 (α n ) − 2 J 1 (α n ))
α n J 2
0 (α n ) − 2 J 0 (α n )J 1 (α n ) + α n J 2
1 (α n )
La solution s’´ ecrit alors :
V θ (r,t) = V 0
r
R
+
∞
∑
n=1
a n J 1
α n
r
R
e
−ν
α 2
n
R 2 t
Les s´ eries sont altern´ ees mais convergent lentement, environ 50 termes sont
n´ ecessaires pour bien repr´ esenter la condition initiale (Fig. 4.3) avec toutefois le
ph´ enom` ene de Gibbs.