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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
Reynolds, peitis nombres de Reynolds, ...). La solution est recherch´ ee sous la forme
de s´ erie de fonctions `
a deux param` etres :
ψ(x, z) = ψ
(0)
(x, z) + f 1 (ε, λ ) ψ
(1)
(x, z) + f 2 (ε, λ ) ψ
(2)
(x, z) + ...
Cette suite peut ˆ
etre utilis´ ee soit pour rechercher directement la solution soit pour
trouver les principales d´ eg´ en´ erescences des ´
equations de Navier-Stokes.
La premi` ere question que l’on peut se poser est la suivante : de quelle ´
equation
ψ (0) est solution?
3.7.2 Principales d´ eg´ en´ erescences
Afin de rechercher l’´ equation dont la solution est ψ (0) , plusieurs cas de d´ eg´ en´ erescences
significatives sont pr´ esent´ es [34]. Celles qui ne sont pas significatives, qui sont en
fait d´ ej` a contenues dans les premi` eres, ne seront pas ´
evoqu´ ees ici.
• Cas o `
u ε = Re � 1, λ = 1, approximation de Stokes
Recherchons donc ψ(x, z) sous la forme :
ψ(x, z) = ψ
(0)
(x, z) + Re ψ
(1)
(x, z) + O(Re
2
)
En introduisant ce d´ eveloppement dans l’´ equation du mouvement et en identifiant
les termes en Re, on trouve qu’` a l’ordre z´ ero on a l’´ equation :
∇
4
ψ
(0)
= 0
C’est l’´ equation de Stokes en terme de fonction de courant. Dans la formulation
pression-vitesse, l’´ equation de Stokes serait :
−∇p + ∇
2
V = 0
• Cas o `
u ε = 1/Re � 1, λ = 1, approximation d’Euler
Dans ce cas on ´
ecrit ψ(x, z) sous la forme :
ψ(x, z) = ψ
(0)
(x, z) +
1
Re
ψ
(1)
(x, z) + O((1/Re)
2
)
et on trouve
∂ ψ (0)
∂ z
∂
∂ x
−
∂ ψ (0)
∂ x
∂
∂ z
∇
2
ψ
(0)
= 0
C’est l’´ equation d’Euler qui s’´ ecrirait en terme de vitesse :
V · ∇V = −∇p
• Cas o `
u λ � 1, approximation de Prandtl