3.7 D´ eg´ en´ erescences des ´
equations de Navier-Stokes
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On donne ici qu’un bref apercu de ces th´ eories qui constituent une des avanc´ ees
marquantes du vingti` eme si` ecle en M´ ecanique des Fluides avec l’utilisation de
d´ eveloppements asymptotiques raccord´ es et les m´ ethodes de perturbations.
On reprend l’´ equation du mouvement stationnaire en termes de fonction de
courant :
∂ ψ
∂ z
∂
∂ x
∇
2
ψ −
∂ ψ
∂ x
∂
∂ z
∇
2
ψ =
1
Re
∇
4
ψ
associ´ ee aux conditions aux limites.
3.7.1 Choix des ´
echelles
Afin de fixer les ´
echelles le domaine de la figure 3.7 est d´ efini. Le domaine fait
Fig. 3.7 Choix des ´
echelles pour la d´ efinition des d´ eg´ en´ erescences des ´
equations; V 0 est la vitesse
caract´ eristiques et L, L 1 et L 2 sont les longueurs caract´ eristiques de l’objet ´
etudi´ e et du domaine
apparaˆ ıtre trois longueurs et une vitesse. Si on d´ efinit le nombre de Reynolds par
Re = V 0 L/ν, on peut faire apparaˆ ıtre deux param` etres adimensionnels qur l’on va
choisir comme param` etres caract´ eristiques de l’´ ecoulement et de la g´ eom´ etrie.
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
λ =
L 1
L 2
ε =
1
Re
λ et ε sont des petits param` etres. Suivant que le nombre de Reynolds est grand ou
petit on choisit ε = 1/Re ou son inverse ε = Re.
Le principe des m´ ethodes de perturbations consiste `
a rechercher la solution
dans ”un certain voisinage” qui peut ˆ
etre g´ eom´ etrique (point singulier, bord de
fuite, couche limite, ...) ou qui peut caract´ eriser l’´ ecoulement (grand nombres de