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3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
L’algorithme de r´ esolution des ´
equations de Navier-Stokes dans leur formulation
incom-pressible peut ainsi s’´ ecrire :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ
� V ∗ − V n
Δt
+ V
n · ∇V
∗
�
− ∇ ·
� μ
� ∇V
∗
+ ∇
t
V
∗
��
− r ∇ (∇ · V
∗
) = −∇p
n
+ f
p
n+1
= p
n − r ∇ · V
∗
∇
�
∇ · V n+1 � = −∇ (∇ · V ∗ )
V n+1 = V ∗ + V � , p n+1 = p ∗
avec p n+1 qui n’est que la r´ eactualisation de la pression pour le pas de temps
suivant. Il est ´
evident que l’´ etape de correction est ind´ ependante de la m´ ethode que
l’on utilise pour obtenir le champ de vitesse de l’´ etape de pr´ ediction V n ∗.
L’int´ erˆ et de cette m´ ethode originale de projection r´ eside dans :
• la correction de vitesse qui est ind´ ependante du contraste de masse volumique
des fluides pour un ´
ecoulement `
a surface libre contrairement `
a la m´ ethode de
projection scalaire,
• la r´ ealisation, `
a l’´ etape de projection, des conditions aux limites du probl` eme sur
toutes les composantes de la vitesse,
• la correction de pression qui ne n´ ecessite pas l’´ ecriture de conditions aux limites
sp´ ecifiques,
• le maintien de l’ordre des sch´ emas en espace et en temps de l’´ etape de pr´ ediction,
• une convergence tr` es rapide de la solution de l’´ equation de projection; une ou
deux it´ erations de gradient conjugu´ e suffisent `
a faire passer la divergence par exemple d’ordre un de l’´ etape de pr´ ediction `
a la pr´ ecision machine, ind´ ependamment
du nombre de degr´ es de libert´ e,
• la constitution d’un solveur autonome ind´ ependant de la m´ ethode utilis´ ee lors de
l’´ etape de pr´ ediction.
L’op´ erateur (∇∇ ·Ψ ) est plus complexe `
a programmer que l’´ equation de Poisson
(∇ · ∇Ψ ) dans la mesure o` u l’´ equation est vectorielle et couple fortement toutes les
composantes de la vitesse.
La figure 3.6 repr´ esente l’´ evolution de la divergence en fonction du nombre
d’it´ erations obtenues pour les m´ ethodes de Projection Scalaire et Vectorielle.
L’exemple correspond `
a un probl` eme de convection naturelle en cavit´ e carr´ ee pour
un nombre de Rayleigh de 10 5 r´ ealis´ e avec un maillage de 512 2 .
Comme on peut le constater l’efficacit´ e des deux techniques sont sensiblement
diff´ erentes. Par ailleurs la pression n’est pas corrig´ ee apr` es l’´ etape de correction
vectorielle. Il s’av` ere toutefois que la pression p ∗ obtenue en appliquant directement
p n+1 = p n − Δt ∇ · V ∗ n’est autre que celle calcul´ ee par une m´ ethode de projection
scalaire.
La n´ ecessit´ e de r´ esoudre toutes les composantes de la correction de vitesse simultan´ ement est largement compens´ ee par les avantages ´
enonc´ es.
3 Propri´ et´ es g´ en´ erales des ´
equations
L’algorithme de r´ esolution des ´
equations de Navier-Stokes dans leur formulation
incom-pressible peut ainsi s’´ ecrire :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ
� V ∗ − V n
Δt
+ V
n · ∇V
∗
�
− ∇ ·
� μ
� ∇V
∗
+ ∇
t
V
∗
��
− r ∇ (∇ · V
∗
) = −∇p
n
+ f
p
n+1
= p
n − r ∇ · V
∗
∇
�
∇ · V n+1 � = −∇ (∇ · V ∗ )
V n+1 = V ∗ + V � , p n+1 = p ∗
avec p n+1 qui n’est que la r´ eactualisation de la pression pour le pas de temps
suivant. Il est ´
evident que l’´ etape de correction est ind´ ependante de la m´ ethode que
l’on utilise pour obtenir le champ de vitesse de l’´ etape de pr´ ediction V n ∗.
L’int´ erˆ et de cette m´ ethode originale de projection r´ eside dans :
• la correction de vitesse qui est ind´ ependante du contraste de masse volumique
des fluides pour un ´
ecoulement `
a surface libre contrairement `
a la m´ ethode de
projection scalaire,
• la r´ ealisation, `
a l’´ etape de projection, des conditions aux limites du probl` eme sur
toutes les composantes de la vitesse,
• la correction de pression qui ne n´ ecessite pas l’´ ecriture de conditions aux limites
sp´ ecifiques,
• le maintien de l’ordre des sch´ emas en espace et en temps de l’´ etape de pr´ ediction,
• une convergence tr` es rapide de la solution de l’´ equation de projection; une ou
deux it´ erations de gradient conjugu´ e suffisent `
a faire passer la divergence par exemple d’ordre un de l’´ etape de pr´ ediction `
a la pr´ ecision machine, ind´ ependamment
du nombre de degr´ es de libert´ e,
• la constitution d’un solveur autonome ind´ ependant de la m´ ethode utilis´ ee lors de
l’´ etape de pr´ ediction.
L’op´ erateur (∇∇ ·Ψ ) est plus complexe `
a programmer que l’´ equation de Poisson
(∇ · ∇Ψ ) dans la mesure o` u l’´ equation est vectorielle et couple fortement toutes les
composantes de la vitesse.
La figure 3.6 repr´ esente l’´ evolution de la divergence en fonction du nombre
d’it´ erations obtenues pour les m´ ethodes de Projection Scalaire et Vectorielle.
L’exemple correspond `
a un probl` eme de convection naturelle en cavit´ e carr´ ee pour
un nombre de Rayleigh de 10 5 r´ ealis´ e avec un maillage de 512 2 .
Comme on peut le constater l’efficacit´ e des deux techniques sont sensiblement
diff´ erentes. Par ailleurs la pression n’est pas corrig´ ee apr` es l’´ etape de correction
vectorielle. Il s’av` ere toutefois que la pression p ∗ obtenue en appliquant directement
p n+1 = p n − Δt ∇ · V ∗ n’est autre que celle calcul´ ee par une m´ ethode de projection
scalaire.
La n´ ecessit´ e de r´ esoudre toutes les composantes de la correction de vitesse simultan´ ement est largement compens´ ee par les avantages ´
enonc´ es.