3.6 Couplage des ´
equations de Navier-Stokes
83
0
50
100
150
200
10
-16
10
-14
10
-12
10
-10
10
-8
PS
PV
N
ε
Fig. 3.6 Evolution de la divergence en fonction du nombre d’it´ erations pour la m´ ethode de Projection Scalaire (PS) et pour la m´ ethode de Projection Vectorielle (PV) obtenue avec une m´ ethode
de gradient conjugu´ e BiCGStab
Les contrastes maximum de masse volumique et de viscosit´ e actuellement r´ ealis´ es
en simulation sont de ρ 1 /ρ 2 = 10 7 pour la masse volumique et de μ1/μ 2 = 10 12
pour la viscosit´ e.
La m´ ethode de couplage vitesse-pression du lagrangien augment´ e et la m´ ethode
de projection permettent ainsi d’assurer la contrainte d’incompressibilit´ e aussi bien
pour les ´
ecoulements monophasiques que multiphasiques.
La r´ ealisation de la contrainte d’incompressibilit´ e de l’´ ecoulement sera assur´ ee
de mani` ere implicite par l’introduction d’un param` etre de Lagrange, en l’occurrence
la pression, en transformant le probl` eme en une recherche de point selle suivant les
m´ ethodes d´ evelopp´ ees notamment par Fortin et Glowinski [16].
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ
� V n+1 −V n
Δt
+ V
n
·∇V
n+1
�
−∇ ·
� μ
�
∇V
n+1
+ ∇
t V
n+1
��
−r ∇
�
∇ · V
n+1
�
= −∇p
n
+ f
p
n+1
= p
n − r ∇ · V
n+1
∇ · V
n+1 | Ω = 0
Les conditions limites que l’on imposera sur la fronti` ere Γ du domaine Ω pourront ˆ
etre soit des conditions de Neumann homog` enes soit des conditions de Dirichlet.
La technique propos´ ee consiste `
a garder la formulation implicite du lagrangien
augment´ e comme ´
etape de pr´ ediction ; une seule it´ eration du lagrangien augment´ e